schwieriges Extremalproblem: Bergwandern

Question

Ein Wanderweg wird mit Baumstämmen, die schräg an die Felswand gestellt werd en, gegen Steinschlag geschützt. Um einen Staubfreien Durchgang zu erhalten, werden im Inneren eine senkrechte und eine horizontale Wand errichtet. Wie müssen die Wände dimensioniert werden, wenn die Querschnittsfläche des Durchgangs maximal werden soll

Comments

Aber wie berechnet man y?

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Für die Baumstämme gelten die Punkte
( x | y )
( 0 | 8 )
( 4 | 0 )

Geradengleichung
y = m * x + b
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 8 - 0 ) / ( 0 - 4 ) = -2

Einsetzen in ( 4 | 0 )
0 = -2 * 4 + b
b = 8

f ( x ) = y = -2 * x + 8

Answer 1

Die Baumstamme folgen der linearen Funktion

f(x) = 8 - 2x

Die Querschnittsfläche läßt sich daher berechnen aus

A = x * f(x) = x * (8 - 2x) = 8x - 2x^2

Wir leiten ab und setzen die Ableitung gleich Null.

A' = 8 - 4x = 0 --> x = 2 --> f(2) = 4

Die waagerechte Wand sollte 2 m und die vertikale Wand sollte 4 m sein.

Comments

Wie kommt man auf die funktion 8-2x?

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y-Achsenabschnitt ist 8, weil dort die Stämme an der Wand lehnen. Die Steigung ist -2, weil ich -8 in Richtung y-Achse gehe wenn ich 4 in richtung x-Achse gehe. m = -8/4 = -2.

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Dankeschön für die schnelle Hilfe! 

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Die Gerade hat als Funktion die allgemeine Form y = m*x + n, m = Anstieg und n = Schnittpunkt mit der y-Achse

Anstieg = Δy/Δx = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Wir haben die Punkte P1(4|0) und P2(0|8), die auf der Geraden liegen.

-> Anstieg m = (8 - 0)/(0 - 4) = - 2

=> y = -2*x + 8

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aber wie berechnet man y? 

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Die waagerechte Wand sollte 2 m und die vertikale Wand sollte 4 m sein.

x = 2 und y = 4

Berechnen tut an y mit f(2) = 4 wie oben vorgemacht.