Symmetrische Differenz zweier Mengen A und B

Question

 Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist definiert als

A∆B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) .

1. a)  Zeigen Sie, dass für eine gegebene Menge M die Potenzmenge V := ℘(M) (d.h. die Menge aller Teilmengen von M) mit der symmetrischen Differenz ∆ als Verknüpfung eine abelsche Gruppe ist.

2. b)  Sei K der Körper Z/2Z. Zeigen Sie, dass V mit der symmetrischen Differenz ∆ als innere Verknüpfung und mit der durch 

   ·: K×V →V, (λ,A)↦λ·A:= {  ∅, wenn λ = 0
   

                                                     A, wenn λ = 1

   definierten äußeren Verknüpfung ein K-Vektorraum ist. 
   

Answer 1

zu 1) Abgeschlossenheit und assoziativ und kommutativ
 ist wohl, klar
einfach einsetzen und ausrechnen.
neutrales Element ist eine Menge N mit

A∆N = A für alle A, also

(A ∪ N) \ (A ∩ N)  = A  und das gilt für N = leere Menge

und für das Inverse B zu A muss ja dann gelten

(A ∪ B) \ (A ∩ B)  = leere Menge und das klappt für B=A,

also ist jede Menge A zu sich selbst invers.

Comments

Danke erstmal !

Abgeschlossenheit ist mir leider noch nicht ganz klar. Was muss ich da genau machen. Stehe da gerade etwas auf dem Schlauch.

Hast du noch eine Idee zu 2)?

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Abgeschlossen heißt doch nur:

wenn man die sym. Dif zweier Teilmengen von M

bildet, gibt es wieder eine Teilm. von M.

Das ist trivial.

Bei 2 musst du einfach alle Vektorraumaxiome durchgehen.