Exponentielles Wachstum , welche Formel für GFS?

Question

ich muss bald eine GFS über exponentielles und beschränktes Wachstum halten. In meinem Buch steht die Formel f(t)= ae^kt Jetzt frage ich mich aber wieso diese Formel da , weil man mit der "alten" Formel b(t)= b(0) a^t  doch schon alles ausrechnen kann außer die Wachstumsgeschwindigkeit, aber das Wort Wachstumsgeschwindigkeit nicht einmal in meinem Buch vorkommt.  Oder kann man mit der neuen Formel alles rechnen? Hoffe auf schnelle Antworten

Answer 1

Beide Formeln sind gleichwertig, für Ableitung (geht bei e^x halt einfach)
und für Berechnung von t ist das mit dem e halt ganz gut, weil man
bei e^t das t sofort mit ln bestimmen kann.

Answer 2

In meinem Buch steht die Formel f(t)= ae^kt Jetzt frage ich mich aber wieso
diese Formel da , weil man mit der "alten" Formel b(t)= b(0) a^t

Zunächst : in beiden Formeln kommt ein " a "  vor welches aber in den Formeln
eine unterschiedliche Bedeutung hat.

Bei der Exponentialfunktion ist die Variable im Exponenten.
Die Basis kann prinzipiell beliebig gewählt werden.

Bei Kapitalvermehrung wird der Zinssatz mit p angegeben
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p )^t
K ( 0 ) = Anfangskapital = 1000
p = 3 %
t = 4 Jahre

K ( 4 ) = 1000 * ( 1 + 0.03 )^4
K ( 4 ) = 1000 * ( 1.03 )^4
K ( 4 ) = 1000 * 1.1255 = 1125.50 

Wäre der Zinssatz 4 % wäre die Basis 1.04 .

Für die nächsten Ausführung brauchst du die Kenntnis von
ln () und e ().

Die Basis kann prinzipiell beliebig gewählt werden.
3^t = e^x  | ln ()
ln ( 3^t ) = ln ( e^x )
t * ln ( 3 ) = x * ln (e )  | ln ( e ) = 1
x = t * ln ( 3 )
3^t = e ^{t * ln(3)}

3^t = e^{1.1*t}

Beide Exponentialfunktion sind gleich.
Dadurch das die ln- Funktion die Umkehrfunktion der e-Funktion
ist wird in vielen Berechnungen die e-Funktion als
Exponentialfunktion verwendet. Meistens mit einem Faktor im
Exponenten ( wie oben ). Allgemein

A ( x ) = A0 * e^{z*t}

Soviel zunächst. Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

~plot~ 3^x ~plot~

Comments

Hier die andere Funktion
Beide Funktionen sind identisch.

~plot~ e^{(1.1*x)}~plot~