Nullstellen von 3x³+2x-8=0 bestimmen ohne auszuklammern

Question

Liebe Mathematiker :),

welches Verfahren muss ich anwenden um die Nullstellen dieser Gleichung 3x³+2x-8=0 zu berechnen und wie wird dieses angewendet?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)

Liebe Grüße

Comments

Was meinst du mit 'ohne ausklammern' ?

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Naja, ich vermute einfach die Lösungsformel anwenden. Dann muss man nicht ausklammern.

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mE ist das Newtonverfahren nötig.

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Hmm? Das ist aber nicht oben genanntes Problem ;).

 

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Hm, ja Du hast recht. Danke für die Berichtigung.

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oke vielen dank schonmal für den lösungsansatz :)

Answer 1

Die Nullstelle wirst du mit dem Newton-Verfahren wohl am schnellsten finden können.

Grob gesprochen funktioniert das ganze so:

1. Wähle eine beliebige Stelle aus, an der du eine Tangente konstruiertst

2. Berechne die Stelle, an der diese Tangente die x-Achse schneidet.

3. Nehme die aus Schritt 2. ermittelte Nullstelle als Ausgangspunkt für eine weitere Tangente und wiederhole

den Vorgang.

Du wirst so nie einen genauen Wert der Nullstelle erhalten, aber mit jeder Wiederholung (hier auch Iteration genannt). sollte das Ergebnis genauer werden.

 

Ich habe das hier jetzt mal ausgerechnet:

Wie du siehst pendelt sich das bei etwa 1.22726 ein. Entspricht ja auch etwa dem Plot.

 

Answer 2

Hi,

wie erwähnt hilft hier das Newtonverfahren weiter.

Dafür sollte Dir folgende Formel bekannt sein:

 

x_i+1=x_i-f(x_i)/(f'(x_i))

 

Für x₀ wähle einen beliebigen Wert, welcher bevorzugt nahe der zur vermutenden Nullstelle zu finden ist. Meine Wahl x₀=1,5.

Damit wir nun noch durchstarten können, fehlt noch die Ableitung: f'(x)=3x^2+2

 

x₁=1,5-f(1,5)/f'(1,5)=1,685714

x₂=x₁-f(x₁)/f'(x₁)=1,670359

x₃=1,670244

 

Die ersten 3 Stellen nach dem Komma stimmen schon überein und ich würde das Verfahren bereits einstellen. Die gesuchte Nullstelle ist also bei x=1,670 zu finden.

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Nun hab ich selbst etwas unterschlagen.

Habe für x^3+2x-8 gerechnet.

 

Für f(x)=3x^3+2x-8

f'(x)=9x^2+2

 

Korrektur:

x₀=1,5

x₁=1,26966

x₂=1,22850

x₃=1,22727

 

Also x=1,22

Answer 3

Alternativ kannst du auch das Bisektionsverfahren anwenden.
Finde zunächst eine Stelle  x₁  mit  f(x₁)  < 0,  sowie  eine Stelle  x₂  mit  f(x₂)  > 0. Dann weiß man, dass im Intervall  (x₁|x₂)  eine Nullstelle liegen muss. Beginne z. B. mit  x₁ = 1  und  x₂ = 2. Man rechnet nach, dass  f(x₁) = -3  und  f(x₂) = 20  ist. Daher liegt im Intervall  (1|2)  eine Nullstelle. Definiere nun  x₃  als Mittelpunkt dieses Intervalls, also  x₃ = (x₁ + x₂)/2 = 1.5. Berechne  f(x₃) = f(1.5) = 5.125 > 0. Eine Nullstelle liegt also im Intervall  (1|1.5). Auf diese Weise kann man das Intervall, das eine Nullstelle enthält, mit jedem Schritt halbieren und erhält eine Folge  x_k, die gegen eine Nullstelle von  f  konvergiert.

Answer 4

Nachdem jetzt alle möglichen Iterationsverfahren vorgestellt wurden muss ich ein wenig Haarspalterei betreiben und sagen, das sind leider alles keine Nullstellen was ihr berechnet habt! Auch wenn sie teilweise ganz in der Nähe von einer solchen liegen (je nach dem was man als "in der Nähe" interpretiert). Man kann ja einfach mal die berechneten Werte in die Funktion eingeben, da kommt nie Null heraus.

Mich würde interessieren ob du ein Schüler oder ein Student bist, bzw. ob du mit komplexen Zahlen umgehen kannst. Falls dies der Fall ist, so gibt es nämlich tatsächlich auch ein Lösungsverfahren für solche Gleichungen.

Naja, nichts für ungut, die exakte reelle Lösung ist übrigens: