Abbildung. Menge bestimmen führt zu: -(1+2i) = z^2 + 4z +3?

Question

benötige Hilfe bei einer Aufgabe. Es geht um Abbildungen von komplexen Zahlen.

Sei h: C --> C

die Abbildung: h(z)= z² + 4z + 3

So nun muss man die Menge A aller z ist Element aus den komplexen Zahlen mit h(z)= -(1+2i) bestimmen

So der erste Schritt ist ja, dass man ganz normal -(1+2i) = z² + 4z +3 gleichsetzt.

Dann löse ich weiter auf und komme auf

z^2+4z+4+2i=0

z^2+4z+(4+2i)=0

So wenn ich jetzt aber quadratisch Ergänzen will, komme ich auf

-2i unter der Wurzel = z+2

Muss ich hier dann komplexes Wurzelziehen anwenden oder ist mein Ansatz falsch?

Danke

Answer 1

Das ist schon richtig. Du musst hier die Wurzel aus einem komplexen Term ziehen. Allerdings nur aus i.

Comments

√(-2) = √2·i

√i = (1 + i) / √2

Daher folgt

√(-2i) = √2·i * (1 + i) / √2 = i + i^2 = i - 1

Answer 2

z²+4z+(4+2i)=0

(z+2)^2 = -2i

z+2= ±komplexe Wurzel( -2i)

z+2= ±komplexe Wurzel( -2i)  = ±wurzel(2)( cos(3pi/4)+ i*sin(3pi/4))

=   ±wurzel(2)( - 0,5*wurezl(2)+ i*0,5*wurzel(2))

=   ± ( -1 + i )

also z+2 = -1 + i  oder z+2 =  1 - i

z = -3+i         oder z = -1 - i