Aloha :)
Wir betrachten den Wert \(z\in\mathbb C\) in Polarkoordinaten:\(\quad z=|z|\cdot e^{i\varphi}=2e^{i\varphi}\)
In der Gauß'schen Zahlenebene liegen sie auf einer Kreislinie mit Radius \(2\):$$z=2e^{i\varphi}=2\cos\varphi+i\,2\sin\varphi\quad\text{bzw.}\quad \vec g(z)=\binom{2\cos\varphi}{2\sin\varphi}$$
Die Abbildungsvorschrift überführt diese Punkte gemäß:$$f(r;\varphi)=\frac{1}{2\,e^{i\varphi}}=\frac12\,e^{-i\varphi}=\frac12\cos\varphi-i\,\frac12\sin\varphi\quad\text{bzw.}\quad\vec g(f(z))=\binom{\frac12\cos\varphi}{-\frac12\sin\varphi}$$
Die abgebildeten Punkte bilden ebenfalls eine Kreislinie, aber mit Radius \(\frac12\), und wegen des Minuszeichens in der 2-ten Koordinate ändert sich der Umlaufsinn der Kreislinie (aber das ist hier nicht wichtig).
Kurze Antwort: Ein Kreis mit Radius \(2\) wird auf einen Kreis mit Radius \(\frac12\) abgebildet.$$K\mapsto\left\{z\in\mathbb C\,\bigg|\,|z|=\frac12\right\}$$
