Matrizen im Exponenten: Stimmt e^{A+B} = e^{A}e^{B} und y' = Ay + (t^2, t)?

Question

Aufgabe:

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind (mit Begründung).

(i) Seien \( A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \). Dann gilt \( \mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^{A} \mathrm{e}^{B} \).

(ii) Sei \( A=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \). Dann besitzt die ODE \( y^{\prime}=A y+\left[\begin{array}{c}t^{2} \\ t\end{array}\right] \) eine partikuläre Lösung der Form

\( \left[\begin{array}{c} a+b t+c t^{2} \\ d+e t \end{array}\right] \)

Answer 1

Hi,
zu (i), siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential
zu (ii) setzte die angegebene partikuläre Lösung in die Dgl. ein und versuche einen Koeffizentenvergleich, daraus kannst Du erkennen, ob es eine partikuläre Lösung der angegebenen Form gibt.

Comments

Könntest du mir hierbei etwas auf die Sprünge helfen, was das einsetzen betrifft?

---

Hi,
die Dgl. lautet ja
$$ y'(t) = A y(t) + \begin{pmatrix} t^2 \\ t \end{pmatrix}  $$ und die partikuläre Lösung soll $$ y_p(t) = \begin{pmatrix} a + bt + ct^2 \\ d + et  \end{pmatrix} $$
sein. Ableiten und einsetzetn der partikulären Lösung ergibt
$$ y_p'(t) = \begin{pmatrix} b + 2ct \\ e \end{pmatrix} $$
Die rechte Seite ergibt
$$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a + bt + ct^2 \\ d +et \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2-et-d \\ ct^2+bt++a+t \end{pmatrix} $$ jetzt musst Du einen Koeffizentenvergleich machen, um zu sehen, ob es eine wie vorgeschlagene partikuläre Lösung geben kann.

---

Danke, ich konnte deinem Weg super folgen.

wie genau kann ich den koeffizientenvergleich hier machen? Wir hatten das mal früher bei der Partialbruchzerlegung, die ich leider mittlerweile scho gröstenteils wieder vergessen habe, aber wie kann ich das bei Matrizen machen?

---

Hi,
eigentlich steht schon alles da. Du musst prüfen ob gelten kann
$$ \begin{pmatrix} b + 2ct \\ e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 - et - d \\ ct^2 + bt + a + t \end{pmatrix} $$

---

Das habe ich verstanden, aber ich weiss nicht wie ich das machen soll in diesem Fall. Wir hatten, dass zwei Matrizen gleich sind, wenn ihre (m x n) gleich sind und sie dieselben Eingträge haben. Aber das sin ja alles Vatiablen?

---

Aha, ich glaube ich habe es verstanden, kann das sein, dass es keine Lösung gibt weil auf der rechten seite ein t^2 ohne variable vorkommt und auf der linken Seite keins, was heisst

0=1

und das dementsprechend nicht stimmt?

---

genau, eine inhomogene Lösung der angegebenen Form ist nicht Lösung der Dgl.

Answer 2

Zu i) Ich verweise auf das ausgezeichnete QM Lehrbuch von Eugen F-i-c-k . Ich weiß - keiner will das lesen und sich zu Herzen nehmen. Z.B. in einem dick umrandeten Warnkästchen schreibt F-i-c-k . dass es NICHT gilt. Also

exp ( A B ) = exp ( A) exp ( B )

Im Übrigen finde ich es etwas witzig, dass du auch hier längst überholte Dinge zitierst. Ich meine die Teilbruchzerlegung ( TZ ) mittels Koeffizientenvergleich ( KV )

Nein; es gleicht einem Treppenwitz der Mathematikgeschichte. Überall steht, ===> Residuenintegration sei leichter als TZ . Alle Internetportale behaupten, TZ sei nur zu leisten über einen schwerfälligen KV bzw. ein gekoppeltes LGS .

===> Rothstein-Trager haben dieses Problem genau mittels Residuen separiert; du das ist einfacher als Mitternachtsformel. Es kommt effektiv heraus, dass die einzelnen Koeffizienten gleich sind dem Wert der Integralkerne an der Polstelle; d.h. du kannst die ganze TZ von Hand einsetzen. Hab ich in L-y-c-o-s schon tausend Mal vorgeführt; erstens nimmt das keiner zur Kenntnis, und zweitens darf ich es hier nicht zitieren, wie du siehst ...

Comments

Hi, ich würde sagen anstatt sich in ungebremster Selbstgefälligkeit zu ergehen, mach doch einfach einen konkreten mathematischen Ansatz und führ ihn hier vor. Dann hat jeder was davon und nicht nur Dein übersteigertes Ego. Ansonsten ordne ich Deine Antwort mal da ein, wo ich ich die anderen auch eingeordnet habe.