Lineare Optimierung: Aus 3 Rohmaterialien werden zwei Produkte erzeugt.

Question

Aufgabe 11:

Aus den Rohmaterialien \( R_{1}, R_{2} \) und \( R_{3} \) sollen zwei Produkte \( \mathrm{A} \) und \( \mathrm{B} \) erzeugt werden. Die Vorräte betragen bei \( R_{1} 200 \mathrm{~kg} \), bei \( R_{2} 100 \mathrm{~kg} \) und bei \( R_{3} 240 \mathrm{~kg} \).

Für die Herstellung eines Stücks von A benötigt man \( 1 \mathrm{~kg} R_{1}, 2 \mathrm{~kg} R_{2} \) und \( 4 \mathrm{~kg} R_{3} \), für B braucht man \( 2,5 \mathrm{~kg} \) \( R_{1}, 1 \mathrm{~kg} R_{2} \) und \( 4 \mathrm{~kg} R_{3} \).

Der Gewinn pro Stück beträgt für A CHF 30 und für B CHF 20.

Wie viele Stück von A und B müssen sinnvollerweise hergestellt werden, damit der Gewinn maximal ist?

Aufgabe 12:

Ein Händler bestellt zwei Produkte \( A \) und \( B \) einer Firma. Er braucht mindestens 500 Stück von A und mindestens 300 Stück von B. Die Firma liefert erst ab einer Gesamtmenge von 600 Stück, kann jedoch maximal 400 Stück B liefern. Die Firma versendet ausserdem ihre Waren aus logistischen Gründen nur bis zu CHF 500 Gesamtkosten, wobei Produkt A CHF 0.50 und Produkt B CHF 0.40 kostet.

Welche Anzahl von A und B muss der Händler bestellen, um die Bestellung möglichst billig zu halten?

Answer 1

zu Aufgabe 11:

Hauptbedingung:

max 30a + 20b

Nebenbedingungen:

1a + 2.5b <= 200

2a + 1b <= 100

4a + 4b <= 240

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B30a%2B20b%2Ca%2B2.5b%3C%3D200%26%262a%2Bb%3C%3D100%26%264a%2B4b%3C%3D240%7D%2C%7Ba%2C+b%7D%5D

Answer 2

11.)
x : Anzahl Produkt A
y : Anzahl Produkt B

Für R1 : x * 30 + y * 2.5 ≤ 200
Für R2 : 2.5 * x + y ≤ 100
Für R3 : 4 * x + 4 * y ≤ 240

aus R1 : y ≤ ( 200 - x ) / 2.5
aus R2 : y ≤ 100 - 2 * x
aus R3 : y ≤ 60 - x

Mögliche Kandidaten für den maximalen Gewinn

( 0  | 80 ) ( entfällt  , weil grüne Bedingung darunter liegt )
Schnittpunkt blau / rot : ( 12.5  | 75 ) ( entfällt, weil grüne Bedingung darunter liegt )
Schnittpunkt rot / grün : ( 40 | 20 )
( 50 | 0 )

Gewinn : 30 * x + 20 * y
1600
1500

Der maximale Gewinn liegt bei
Produkt A 40 Einheiten
Produkt B 20 Einheiten

Bitte nachrechnen und überprüfen.

Comments

12. kann ich dir leider nicht helfen.
Der Sachzusammenhang ist mit unklar.
Gebraucht min 500 A und min 300 B sind min Gesamt 800.
Die Bedingung der Firma : Gesamtmenge min 600
ist damit doch übertroffen ?
Welche Anzahl von A und B ... die Bestellung möglichst billig
zu halten.
Am billigsten ist es er bestellt gar nichts ?

Ich scheine die ganze Aufgabe nicht zu verstehen.
Vielleicht hat jemand anderes eine Lösung.

mfg Georg

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Möglichst billig wird es wenn er die minimalen Mengen benötigt die er braucht. Also 500 von A und 300 von B.

Man prüfe ob er damit gegen irgendwelche Bedingungen verstößt. Da das nicht der Fall ist, sind die Bestellmengen klar.

Zugegeben das ist eine etwas unsinnige Aufgabe.

Fazit. Da hat irgendein witziger Lehrer eine Aufgabe genommen mit cut und Paste und mal ein paar Zahlen verndert in der Hoffnung es fällt niemandem auf und dabei nicht bedacht, dass dann eventuell nur Unsinn dabei raus kommt ;)