Ableitung von Ln mit Wurzel als Argument

Question

Ableitung von:

\( f(x) = \ln( \sqrt{ \frac{x+1}{x-1} } ) \)

Ansatz/Problem:

Das habe ich dann umgeschrieben in ln ((x+1/x-1)^{1}/2) und dann die Potenz raus geschrieben 1/2 *ln (x+1/x-1) und dann die Produktregel angewendet .

Könntet ihr bitte überprüfen  ob das Ergebnis stimmt?

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(x+1) \cdot(x-1)}=\frac{2}{2(x+1) \cdot(x-1)} \)

Comments

Mein Matheprogramm sagt
-1 / ( x^2 - 1)

Vielleicht rechne ich alles noch per Hand durch.

Answer 1

[LN(√((x + 1)/(x - 1)))]' = 1/√((x + 1)/(x - 1)) · [√((x + 1)/(x - 1))]'

[√((x + 1)/(x - 1))]' = 1/(2·√((x + 1)/(x - 1))) · [(x + 1)/(x - 1)]'

[(x + 1)/(x - 1)]' = ([x + 1]'·(x - 1) - (x + 1)·[x - 1]') / (x - 1)^2
[(x + 1)/(x - 1)]' = ((x - 1) - (x + 1)) / (x - 1)^2
[(x + 1)/(x - 1)]' = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)^2
[(x + 1)/(x - 1)]' = - 2 / (x - 1)^2

Einsetzen

[√((x + 1)/(x - 1))]' = 1/(2·√((x + 1)/(x - 1))) · [(x + 1)/(x - 1)]'
[√((x + 1)/(x - 1))]' = 1/(2·√((x + 1)/(x - 1))) · (- 2 / (x - 1)^2)
[√((x + 1)/(x - 1))]' = √((x + 1)/(x - 1)) / ((x + 1)·(1 - x))

Einsetzen

[LN(√((x + 1)/(x - 1)))]' = 1/√((x + 1)/(x - 1)) · [√((x + 1)/(x - 1))]'
[LN(√((x + 1)/(x - 1)))]' = 1/√((x + 1)/(x - 1)) · √((x + 1)/(x - 1)) / ((x + 1)·(1 - x))
[LN(√((x + 1)/(x - 1)))]' = 1/((x + 1)·(1 - x))

Man könnte den Term auch vorher etwas vereinfachen. Dann spart man sich die Wurzel

LN(√((x + 1)/(x - 1))) = 1/2·LN((x + 1)/(x - 1))

Comments

.jap ich hab das selbe raus also mein ergebnis ist ja 2/-2*(x+1)*(x-1) = -1/(x-1)^2 <- 3.BF

Answer 2

Hier meine Berechnungen




mfg