Beweisen Sie, dass S3 die von ALPHA und Gamma1 erzeugte Gruppe ist. S3 = ⟨α,γ1⟩

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge \( S_{3} \) aller bijektiven Abbildungen von \( \{1,2,3\} \) in \( \{1,2,3\} \) Jede solche Abbildung \( f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\} \) werden wir in der Form
$$ f=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {f(1)} & {f(2)} & {f(3)} \end{array}\right) $$
aufschreiben. Dann ist:

In der folgenden Tabelle sind die Kompositionen der Elemente aus \( S_{3} \) angegeben:

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \circ & {\mathrm{id}} & {\alpha} & {\beta} & {\gamma_{1}} & {\gamma_{2}} & {\gamma_{3}} \\ \hline \text { id } & {\mathrm{id}} & {\alpha} & {\beta} & {\gamma_{1}} & {\gamma_{2}} & {\gamma_{3}} \\ \hline \alpha & {\alpha} & {\beta} & {\mathrm{id}} & {\gamma_{3}} & {\gamma_{1}} & {\gamma_{2}} \\ \hline \beta & {\beta} & {\mathrm{id}} & {\alpha} & {\gamma_{2}} & {\gamma_{3}} & {\gamma_{1}} \\ \hline \gamma_{1} & {\gamma_{1}} & {\gamma_{2}} & {\gamma_{3}} & {\mathrm{id}} & {\alpha} & {\beta} \\ \hline \gamma_{2} & {\gamma_{2}} & {\gamma_{3}} & {\gamma_{1}} & {\beta} & {\mathrm{id}} & {\alpha} \\ \hline \gamma_{3} & \gamma_{3} & {\gamma_{1}} & {\gamma_{2}} & {\alpha} & {\beta} & {\mathrm{id}} \\ \hline\end{array} \)

Ich bin mir nicht sicher, ob die Tabelle hier relevant ist. Hilfreich könnte aber die folgende Definition sein:

Definition 5.1.6
Sei \( (G, *) \) eine Gruppe und \( M \) eine nicht-leere Teilmenge von \( G . \) Man sagt, dass \( G \) von \( M \) erzeugt ist, wenn jedes Element \( g \in G \) in der Form
\( g = m_1 * m_2 * ... * m_k \)
geschrieben werden kann, wobei \( m_{i} \in M \) oder \( m_{i}^{-1} \in M \) für \( 1 \leqslant i \leqslant k \) und \( k \in \mathbb{N} \) ist. In diesem Fall schreibt man \( \langle M\rangle= G \)
Beispiel: \( \mathbb{Z}=\langle 1\rangle=\langle 37,7\rangle \)

Wie beweise ich nun, dass \( S_{3}=\left\langle\alpha, \gamma_{1}\right\rangle \) gilt?

Comments

ja, das heißt jetzt, dass du jedes Element aus S₃ als Kombination aus α und γ1 schreiben sollst.

Ich mach dir mal eines vor: id=γ1*γ1

Das ist nicht schwer, probier es erst einmal selbst, und wenn du Fragen hast, dann schreib wieder

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Also:

id = γ1 *γ1
β = α * α
γ2 = α * γ1
γ3 = γ1 * α

Oder fehlt da noch was ?

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ne, das ist schon alles, γ1 und α hast du ja schon.

Aber vorsicht, du hast da was verdreht, es ist

γ3 = α * γ1

und

γ2 = γ1 * α

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Ok danke, ja sorry die Verdrehung kam hier bei aufschreiben zu stande :D

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Könntest du mir noch einen Tipp geben wie ich alle Untergruppen dieser Permutationsgruppe S3 aufstelle ?

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Klar kann ich.

Zunächst mal was ist eine Untergruppe, das ist eine Teilmenge die wieder den Gruppenaxiomen unterliegt. Das heißt hier, es muss das Neutrale drin sein, zu jedem Element das Inverse und die Menge muss abgeschlossen sein bezüglich der Verknüpfung, das heißt wenn man 2 Elemente verknüpft, landet man wieder in der Untergruppe.

Naja, ich würde jetzt einfach mal anfangen die von einem Element erzeugten Untergruppen anzuschauen, das heißt

<id>, <α>,<β>,...

allerdings musst du da drauf achten, das einige dieser Untergruppen gleich sind.

und dann stellt sich noch die Frage ob es auch Untergruppen gibt die von 2 Elementen erzeugt werden.

von <α,γ1> wissen wir ja schon dass es die ganze Gruppe ist, gilt das immer für je 2 Elemente?

Answer 1

Was du wahrscheinlich tun sollst, steht schon im Kommentar von Mathematiger.

Hier noch eine geometrische Interpretation:

Die Menge aller bijektiven Abbildungen von {1,2,3} nach {1,2,3} entspricht der Menge aller Konguenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken 1,2,3 (Gegenuhrzeigersinn) in sich selbst überführen.

Das sind die Identität, Drehungen um 120° und 240° und 3 Geradenspiegelungen.

Alpha ist eine Drehung um 120°, Gamma 1 die Geradenspiegelung an der Symmetrieachse durch 1.

Nun ist geometrisch klar, dass durch Verknüpfung dieser beiden Abbildungen alle andern Kongruenzabbildungen erzeugt werden können.

Deshalb ist S3 die von ALPHA und GAMMA1 erzeugte Gruppe.

Answer 2

Beweisen Sie, dass S3 = ⟨α, γ1⟩ ist.

Du sollst zeigen, dass man alle andern Elemente von S3 darstellen kann mit α zusammen mit γ1 und deren Verknüpfungen.

Bsp. α ° α ° α = id,  α ° α = β

γ1 ° γ1 = id 

Nun γ1 °  α = ... ?

usw. bis du alles hast, was dort angegeben ist.

EDIT: Antwort auf die Version:

Beweisen Sie, dass S3 = ⟨α, γ1⟩ ist. 



So haben wir S3 definiert:  S3 =
{id =
1 2 3
1 2 3
, α =

1 2 3
2 3 1
, β =

1 2 3
3 1 2
,
γ1 =

1 2 3
1 3 2
, γ2 =

1 2 3
3 2 1
, γ3 =

1 2 3
2 1 3
}.