Zeigen Sie, dass G eine Stammfunktion zu g ist. Zeigen Sie, dass der Rotationskörper ein endliches Volumen hat.

Question

Aufgabe:

...

[Hinweis: $f_{a}$ kann auch dargestellt werden als $\left.f_{a}(x)=\frac{1}{a}(\ln (x)-a) \cdot \frac{1}{x} .\right]$

c) Untersuchen Sie $f_{a}$ auf Extrem- und Wendestellen; geben Sie auch die zugehörigen Punkte des Graphen und die Wendetangente an.

d) Stellen Sie die Graphen $\mathrm{zu} f_{a}$ für $a=1$ und $a=-1$ mithilfe des GTR uber dem Intervall ] $0 ; 5]$ dar.

e) Zeigen Sie: Die Graphen zu zwei Kurven der Schar $\left(\operatorname{mit} f_{a}(x)=\frac{\ln (x)-a}{a x}\right.$ und $\left.f_{b}(x)=\frac{\ln (x)-b}{b x}\right)$ haben genau einen Punkt gemeinsam, und dieser Punkt ist auch allen Kurven der Schar gemeinsam.

f)

(1) Die Graphen zu $f_{a}$ für $a=1$ und $a=-1$ schneiden aus der Parallelen zur $y$-Achse mit $x=u, u>1$ Sehnen aus. Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den diese Sehne am längsten ist.

(2) Bestimmen Sie die Tangenten an die beiden Graphen in den Endpunkten der Sehne mit maximaler Länge. Warum sind diese parallel?

g) Alle Extrempunkte der Kurvenschar liegen auf dem Graphen einer Funktion $g$; bestimmen Sie den Funktionsterm.

h) Zeigen Sie, dass $F_{a}(x)=\frac{1}{2 a}(\ln (x))^{2}-\ln (x)$ eine Stammfunktion zu $f_{a}(x)$ ist.

i) Untersuchen Sie, ob das nach rechts offene Flächenstück, das der Graph zu $f_{a}$ mit der $x$-Achse einschlieBt, einen endlichen Flächeninhalt hat.

j)

(1) Zeigen Sie, dass $G(x)=-\frac{1}{x}\left((\ln (x))^{2}+1\right)$ eine Stammfunktion zu $g$ mit $g(x)=\left(f_{1}(x)\right)^{2}$ ist.

(2) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen von $f_{1}$ uber $[e ; 1]$ um die $x$-Achse entsteht, ein endliches Volumen hat. Geben Sie dieses Volumen an.

Lösung zu j)

j)

(1) Durch Ableiten erhält man:

$\begin{aligned} G^{\prime}(x) &=\frac{1}{x^{2}}\left((\ln (x))^{2}+1\right)-\frac{1}{x} \cdot\left(2 \ln (x) \cdot \frac{1}{x}\right) \\ &=\frac{1}{x^{2}}\left((\ln (x))^{2}-2 \ln (x)+1\right) \\ &=g(x) \end{aligned}$

(2) Für das Volumen des Rotationskörpers erhält man:

$\begin{aligned} V(c) &=\pi \int \limits_{e}^{c} g(x) d x \\ &=\pi[G(x)]_{e}^{c} \\ &=\frac{2 \pi}{e}-\frac{1}{c}\left((\ln (c))^{2}+1\right) \end{aligned}$

und damit $V=\lim \limits_{c \rightarrow \infty}(V(c))=\frac{2 \pi}{e}$, da $c$ stärker gegen unendlich $\ln (c)$

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht, wie g (x) aussehen soll als ja ist b klar f1 (x)2 aber das sieht ganz anderes aus, als wenn ich um f1 (x) eine Potenz setze. Ausserdem sollen wir g (x) zu G (x) integrieren und das klappt bei mir schon gar nicht.

Comments

fa(x) = (LN(x) - a)/(a·x)

f1(x) = (LN(x) - 1)/x

g(x) = (f1(x))² = ((LN(x) - 1)/x)² = (LN(x) - 1)² / x²

Und du sollst nicht g(x) integrieren. Es langt wenn du G(x) ableitest. So stehst doch auch in der Lösung.

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Wir sollen von unserem Lehrer aus g (x) integrieren statt G (x) wie in der Aufgabenstellung abzuleiten.

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Na dann integrierst du halt g(x).

Substitution könnte hilfreich sein.

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Answer 1

∫ (LN(x) - 1)²/x² dx

Subst. z = LN(x)
dx = x dz

∫ (z - 1)²/x² x dz
∫ (z - 1)²/x dz
∫ (z - 1)²/e^z dz
∫ (z - 1)²·e^-z dz
∫ (z² - 2·z + 1)·e^-z dz

Vermutung

F(z) = (a·z² + b·z + c)·e^-z
F'(z) = e^-z·(- a·z² + z·(2·a - b) + (b - c))

Koeffizientenvergleich

-a = 1
2·a - b = -2
b - c = 1

Lösung hier a = -1 ∧ b = 0 ∧ c = -1

(-z² - 1)·e^-z + C

Resubst.

(-LN(x)² - 1)·e^-LN(x) + C

- (LN(x)² + 1)/x + C