Anzahl von Nullstellen berechnen

Question

Ermittle die Anzahl der Nullstellen der Funktion f_k(x)=x^4-18x^2+81-k, k∈R, D_fk=R, in Abhängigkeit von k und stelle n(k) graphisch dar.

Ich verstehe nur Bahnhof, bitte helft mir!!

Answer 1

Mache mal von

y = x^4 - 18·x^2 eine Kurvendiskussion. Insbesondere die Untersuchung auf Hoch und Tiefpunkte !

Wenn du das hast stell mal deine Ergebnisse hier rein.

Jetzt suchst du Nullstellen von

f(x) = x^4 - 18·x^2 + 81 - k = 0

x^4 - 18·x^2 = - 81 + k

Den linken Teil kennen wir durch unsere Kurvendiskussion. Wie viele Lösungen gibt es jetzt für spezielle Werte von k.

Comments

also der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel, das der leitkoeffizient positiv und der grad gerade

Answer 2

x⁴ - 18·x² + 81 - k = 0
x⁴ - 18·x² = - 81 + k

z = x^2
Ersetzen
z^2 - 18*z = -81 + k  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
z^2 - 18*z + 9^2 = -81 + k + 81
( z - 9 )^2 = k
z - 9 = ±√ k
z =  ±√ k + 9
Falls
k < 0 : keine Lösung
k = 0 : 1 Lösung
k > 0 : 2 Lösungen

x^2 = z =  ± √ k + 9
Hier gibt es nur eine Lösung falls
± √ k + 9 ≥ 0
ist
+ √ k + 9 ist stets postiv ( 2 Nullstellen )

- √ k + 9 ≥ 0
- √ k ≥ -9
√ k  ≤ 9
k ≥ 0 und k ≤ 81

Liegt k zwischen 0 ≤ k ≤ 81 gibt es 4 Nullstellen
Ist  k  ≥ 81 gibt es  2 Nullstellen.
ist k < 0 gibt es keine Nullstelle.

Ich habe dies graphisch überprüft.
Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

der fall mit den drei nullstellen ist dir durch die lappen gegangen

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Der Fall ist noch komplizierter

Es gibt Fälle mit 0, 2,3 und 4 Nullstellen.
Wenn man den Kurvenverlauf kennt ist die Methode
des Mathecoachs der Bestimmung über die Hoch-
und Tiefpunkte sicherlich einfacher als das was ich
gemacht habe.
Vielleicht mache ich das später noch.
Ich hoffe ich habe dir weitergeholfen.