Nullstellen bei einer Funktionsschar

Question

Wie bestimmt man bei einer Funktionsschar die Nullstellen also vorallem bei den Ableitungen?

Beispiel: f_t(x)=x³-2tx²+t²x

Answer 1

f_t(x)=x³-2tx²+t²x  kann man zusammenfassen als f_t(x)=x(t-x)²

Für Nulstellen: f_t(x)=0:

x(t-x)²=0

x=0 v (t-x)²=0

x=0 v t-x=0

x=0 v x=t

Answer 2

Wie bestimmt man bei einer Funktionsschar die Nullstellen
also vorallem bei den Ableitungen?

Beispiel: f_t(x)=x³-2tx²+t²x

Eine Antwort wurde bereits gegeben. Hier etwas konventioneller

f ( x ) = x^3 - 2*t * x^2 + t^2 * x  | x ausklammern
f ( x ) = x * ( x^2 - 2*t * x + t^2 ) 

Nullstellen
x * ( x^2 - 2*t * x + t^2 )  = 0
x = 0
und
x^2 - 2*t * x + t^2 = 0 | entweder man erkennt die 2.binomische Formel
oder man löst über die pq-Formel
x = t

Was meinst du mit
also vorallem bei den Ableitungen?
Ableitungen sind bei der Nullstellenermittlung der Funktion
nicht notwendig.
Oder meinst du die Nullstellen der Ableitungen
( Extrempunkte, Wendepunkte ) ?

Comments

Ja ich meine auch Nullstellen bei Ableitungen weil das im Unterricht etwas kompliziert aussah es gab einige Zwischenschritte

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f ( x ) = x³ - 2*t * x² + t² * x

f ´( x ) = 3 * x² - 4*t * x + t²
3 * x² - 4*t * x + t² = 0  | : 3
x^2 -4/3 * t * x + t^2 / 3 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung

x = t
x = t / 3

f ´´ ( x ) = 6 * x - 4*t
6 * x - 4 * t = 0
x = 4 * t / 6

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x² -4/3 * t * x + t² / 3 = 0  | pq-Formel 

Warum wird in diesem Schritt aus der 4 ein 4/3 muss man das immer machen?

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3 * x² - 4*t * x + t² = 0  | : 3

Allgemein
a + b + c = 0 | : 3
( a + b + c ) / 3 = 0
a/3 + b/3 + c/3 = 0

3 * x² - 4*t * x + t² = 0  | : 3
( 3 * x² - 4*t * x + t² ) / 3 = 0 
3 / 3 * x² - 4 / 3 * t * x + t² / 3 = 0