Aufgabe:
Sei \( D \subseteq R \) und \( f: D \rightarrow R \) eine Funktion.
a) Sei \( x_{0} \in D \), sodass für jedes \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) existient mit der Eigenschaft \( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \) für alle \( x \in D \) mit \( \left|x-x_{0}\right|<\delta \).
Zeigen Sie, dass dann für jede Folge \( \left(a_{n}\right)_{\mathrm{meN}} \) in \( D \) mit \( a_{n} \rightarrow x_{0} \) für \( n \rightarrow \infty \) gilt:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f\left(x_{0}\right) \)
b) Sei nun \( f \) stetig in \( x_{0} \in D . \) Nehmen sie an, das \( \varepsilon-\delta- \) Kriterium sei nicht erfüllt. D.h. es gibt ein \( \varepsilon_{0}>0 \), sodass gilt: Für alle \( \delta>0 \) existiert ein \( a_{\delta} \in D \), für welches zwar \( \left|a_{\delta}-x_{0}\right|<\delta \), aber dennoch \( \left|f\left(a_{\delta}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|>\varepsilon_{0} \) ist.
Führen Sie diese Annahme zu einem Widerspruch. Hinweis: Setzen sie \( \delta=\frac{1}{n} \)
