Supremumsnorm zu Polynomdifferenz bestimmen

Question

Hallo..

Bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher.

Aufgabe: Zu den Stützstellen (0,0), (1,1), (2,16), (3,81) bestimme man das Interpolationspolynom p(x).

Die Funktion f(x)=x^4 interpoliert ebenfalls diese Stützpunkte. Man berechne eine möglichst gute Abschätzung für ||x^4 - p(x)||∞ = sup(x^4 - p(x))..

Für p(x) habe ich 6x^3-11x^2+6x

Meine Frage ist.. wie kann man am geschicktesten die Suprumumsnorm bestimmen. Mein Vorgehen wäre nun

g(x):= x^4-p(x) abzuleiten und mit dem Sekantenverfahren eine Näherung für die Nullstellen von g'(x) zu bestimmen und anschließend die verschiedenen Werte miteinander vergleichen um das betragsmäßig größte zu bestimmen.. Scheint mir aber etwas aufwändig..

Danke schonmal

Grüße

Comments

Es sieht so aus als hättest du etwas vergessen anzugeben. Eine Abschätzung wird sich so schwer finden lassen. Kann es sein, dass man hier nur das Intervall [0,3] betrachten soll?

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Genaueres steht in der Aufgabe auch nicht.. Aber ich geh auch stark davon aus dass es um das Intervall [0,3] geht. Ansonsten würde es wenig Sinn machen die Supremumsnorm zu bestimmen..

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Dann wäre an deiner Vorgehensweise nichts auszusetzen, bedenke aber, dass du die Nullstellen von \(g'(x)\) explizit berechnen kannst und nicht nur annähern musst. \(g(x)\) hat 4 Nullstellen im Intervall [0,3] und ja die Form:

$$ g(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) $$

Aus Symmetriegründen liegt ein Extrempunkt zwischen den mittleren Nullstellen, also bei \( x = 1,5\) vor, womit du schon mal eine Nullstelle der Ableitung hättest.

Damit könnte man also auch direkt das Supremum auf dem Intervall berechnen. Da es aber um eine Abschätzung gehen soll, wird wahrscheinlich nach einem anderen Weg verlangt der keine konkreten Berechnungen wie in deinem Weg beinhaltet.

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Okay, danke für deine Antwort. Stimmt, das mit der

Symmetrie hab ich gar nicht berücksichtigt..

Ich hab mit dem Sekantenverfahren

sup ||x^4-p(x)|| ≈1 rausbekommen..