Aufgabe:
Sei \( \ell^{1} \) der Vektorraum aller reellen Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \), für die gilt
\( \left\|\left(a_{n}\right)\right\|_{1}:=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty \)
Zusammen mit der oben definierten Norm \( \|\cdot\|_{1} \), ist dieser ein unendlichdimensionaler Banachraum.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge \( S^{0}:=\left\{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^{1}:\left\|\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\right\|_{1}=1\right\} \subseteq \ell^{1} \) beschränkt und abgeschlossen ist.
(b) Wir betrachten nun eine Folge in \( \ell^{1} \), welche wir mit \( \left(x^{(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) bezeichnen wollen. Da für \( k \in \mathbb{N} \) gilt, dass \( x^{(k)} \) in \( \ell^{1} \) liegt, heißt das, dass \( x^{(k)} \) selbst wieder eine Folge ist, also eigentlich \( \left(x_{n}^{(k)}\right)_{n \in \mathrm{~N}} . \) Wir definieren diese Folge von Folgen nun durch
\( x_{n}^{(k)}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { wenn } n=k \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Anschaulich ergibt sich also
\( \begin{aligned} \left(x_{n}^{(0)}\right)_{n \in \mathbb{N}} &=(1,0,0,0,0,0,0, \ldots) \\ \left(x_{n}^{(1)}\right)_{n \in \mathbb{N}} &=(0,1,0,0,0,0,0, \ldots) \\ \left(x_{n}^{(2)}\right)_{n \in \mathbb{N}} &=(0,0,1,0,0,0,0, \ldots) \end{aligned} \)
usw.
\( \left(b_{1}\right) \) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x^{(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) in \( S^{0} \) liegt.
\( \left(b_{2}\right) \) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x^{(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) keine konvergente Teilfolge besitzt.
Ansatz/Problem:
Ich verstehe die Aufgabe b) nicht ganz.
Wieso ist diese Folge von (unendlich vielen) Folgen in l1 ?
Wenn ich das so mir überlege:
||x(k)n||1 = ∑||x(k)n||1 für alle k ∈ ℕ kommt hier doch ∞ raus oder wie ist das gedacht?
