Grenzwert des Mischungsverhältnisses Wein und Wasser

Question

Hier die Aufgabe; 

Von einem Liter Wein gießt man 1/4 Liter weg und ersetzt den weggegossenen Teil durch Wasser. Von der Mischung gießt man wiederum 1/4 Liter weg und ersetzt den weggegossenen Teil durch Wein. Dieser aus zwei Schritten bestehende Prozess wird beliebig oft wiederholt. Welches Mischungsverhältnis ergibt sich im Grenzwert? Existiert der Grenzwert überhaupt? Ersetzen Sie nun 1/4 durch ein q mit 0 < q < 1. Wie ist der Sachverhalt hier?

Comments

Du solltest damit anfangen den Prozess als Folge des Mischungsverhältnisses darzustellen.

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Das hab ich schon gemacht und habe festgestellt , dass der Wert sich bei bei einem 3/4 Liter Wein und 1/4 Liter Wasser einpendelt 

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Dann hast du aber irgendwo ein Fehler, denn dies ist falsch. Wie hast du denn deine Folge aufgestellt? Rekursiv oder explizit?

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Ich hab's durch Ausprobieren gemacht und bin darauf gekommen aber hab dann wohl einen Fehler gemacht .. Bin auf eine allgemeine Formel noch gar nicht gekommen 

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Vielleicht hilft dir ja der folgende Ansatz. Wir fassen beide Stufen mal zu einem Mischungsprozess zusammen. Sei \(a_n\) die Konzentration von Wein nach \(n\) Mischungen. Die Gesamtmenge bleibt ja immer konstant 1 Liter. Nach dem Ersetzen von \(q \in (0,1)\) Liter der Mischung durch Wasser (im konkreten Beispiel ist \(q=0.25\) ) haben wir erstmal eine Konzentration von \((1-q)a_n\) Wein. Nach erneutem Ersetzen durch diesmal \(q\) Liter Wein haben wir noch eine Konzentration  \( (1-q)^2a_n + q\) Wein. Das würde einem Mischungsprozess entsprechen.

Somit haben wir die rekursive Folge: \(a_{n+1} = (1-q)^2a_n + q\).

Da  \(a_0=1\) ist, kannst du aus der rekursiven Darstellung eine explizite Darstellung der Folge herleiten. Wenn du das hinbekommst kannst du auch problemlos den Grenzwert berechnen.

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Achso jetzt ist mir das auch klar , danke ! Aber ich finde leider kein Muster .. Ich hab das nun sowohl formal als auch mit Zahlen aufgeschrieben bis zu a5 und werde nicht schlau draus ..

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Kannst du deine Bemühungen vielleicht hier reinstellen? Das Muster müsste sich in den Exponenten äußern. 

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Es lässt sich ein Muster erkennen aber ich kann's leider nicht aufschreiben also in eine Formel packen ..

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Ok ich entnehme dem jetzt mal das du kein Interesse hast deine Bemühungen zu teilen. Beachte die Antwort unten. Edit: Gut wenn es daran scheitert mach ich dir keine Vorwürfe ;).

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Es Läd mir leider die Datei nicht hoch das ist der Grund ..aber danke 

Answer 1

Man beachte die Kommentare unter der Aufgabenstellung. Aus der rekursiven Darstellung sollte sich ohne große Umstände die explizite Darstellung $$ a_n = (1-q)^{2n} + q \cdot \sum_{k=0}^{n-1} (1-q)^{2k} $$ herleiten lassen. Mit dieser kann man nun den Grenzwert der Weinkonzentration für \(n \to \infty\) bestimmen.

Comments

Kommt als Grenzwert $$ \frac{q}{1-(1-q)^{2}}+q\,\,\, ,$$

also für q= 0,25   23/28 raus?

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Nein, außerdem bitte keine Fragen als Antworten reinstellen sondern als Kommentare schreiben. Du kannst diese Antwort noch zum Kommentar umwandeln, falls du Sie noch bearbeiten kannst.

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aber

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-q)^{2n} \right)$$ geht gegen 0, weil 0 < 1-q < 1.
Und bei
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left [\left(q\sum_{k=1}^{n-1}(1-q)^{2})^{k}\right)+q\right ]$$
geht die Summe gegen $$\frac{q}{1-(1-q)^{2}}$$ und das q hinten eben gegen q.
Stimmt das nicht?

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Nein, den Grenzwert den du beschreibst ist eigentlich der für die geometrische Reihe die bei \(n=0\) anfängt. Das splitten ist also unnötig. Wenn du das "+q" weglässt dann hast du das richtige Ergebnis.

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oh bin ich so doof, blöder Fehler.
Dann hab ich jetz auch 4/7 raus^^
Alles klar, danke!

Answer 2

Ich habe mit Hilfe der EDV heraus

q = 1/10 : 0.5272 Liter
q = 1/4 : 0.5714 Liter
q = 1/2 : 2/3 Liter
q = 3/4 : 0.8 Liter

Vielleicht zur Kontrolle der anderen Antworten geeignet.
( sofern meine Zahlen stimmen )