Homomorphismus zeigen

Question

Gegeben: Ein Körper K, n∈ℕ_(0), ein n-Tupel (x_(1), ... ,x_(n)) in K mit verschiedenen Einträgen.

ξ: K[X]_(<n) → K^{n}, f ↦ ( f(x_(1)), ... , f(x_(n)) )

wobei K[X] := Polynomring über K

Nun soll gezeigt werden dass ξ ein K- Vektorraum Homomorphismus ist.

Wie zeigt man bei dieser Abbildung die Verträglichkeit bzgl. der Additionen und Skalarmultiplikationen?

Answer 1

Addition:
wenn du zwei Polynome f und g hast und willst ξ(f+g) = ξ(f) + ξ(g) zeigen dann ist das

( (f+g)(x₁), ... , (f+g)(x_n) ) und wegen Def. der Add. von polynomen

=       ( (f(x₁)+g(x₁), ... , (f(x_n)+g(x_n) )   und wegen Add in K^n

=       ( (f(x₁), ... , (f(x_n) )   +     ( (g(x₁), ... , g(x_n) )

und bei S-Multiplikation entsprechend

Comments

Was müsste man zusätzlich noch für einen Vektorraumisomorphismus zeigen?