zeigen sie:beweissen Homomorphismus

Question

Es seien (G,ο) und (G^,, *) Gruppen sowie φ: G →G^, ein Homomorphismus.

Zeigen Sie:
(a) Ist φ bijektiv, so ist auch φ^-1 ein Homomorphismus.
(b) Ist H ≤G, so ist φ(H) = {φ(h) : h ∈H} eine Untergruppe von G^,

Answer 1

Zu a) zeige: Für alle x,y aus G' gilt φ^(-1) ( x*y) =   φ^(-1) ( x) o φ^(-1) ( y).

Seien also x,y aus G' .  Wegen der Surjektivität gibt es a∈G mit φ^(-1) ( x)=a

und  b∈G mit φ^(-1) ( y)=b.

==>   φ(a)=x und φ(b)=y.   Da φ ein Hom. ist, gilt φ(aob)=x*y , also

φ^(-1) ( x*y) = a o b = φ^(-1) ( x) o φ^(-1) ( y).   q.e.d.