Zeigen Sie: Ist (G,*) eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Gruppenelement, so ist f: G-- g# *h* g ein Homomorphismus.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist (G,*) eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Gruppenelement, so ist f: G-->G, h-->g# *h* g ein Homomorphismus.

Problem/Ansatz:

eine weitere Aufgabe ist: Finden Sie weiter Beispiele von Gruppen G und Elementen g ∈ G, so dass f einmal ein Isomorphismus ist, und einmal nicht.

PS: g# bedeutet inverse von g

Mein Rechnen:

f(m+n)=g#* (m+n) * g

Ich gucke diese Gleichheit und denke: ich kann so schreiben: g#* (m+n) * g =  g#* g * (m+n)  =m+n

oder weil (a+b)*c=ab+ac, dann kann ich schreiben g#* (m+n) * g= g#* m  * g + g#* n*  g

dann bekomme ich f(m+n)=g#* (m+n) * g= f(m) +f(n)-----> Homomorphismus klappt :D

Ich habe aber ein Gefühl, mein Rechnen für Homomorphismus ist falsch, ich weiß nicht, wo mein Fehler liegt.

Weiterhin weiß ich nicht, wie ich die weitere Aufgabe von Isomorphismus erledige.

Bitte point Sie out, wo mein Fehler liegt, wie ich Homomorphismus richtig beweise und wie ich Aufgabe über Isomorphismus erledige.

Herzlichen Dank!

Comments

Entschuldige, ich habe noch eine Verwirrung, wie finde ich Elementen g ∈ G, so dass f einmal ein Isomorphismus ist, und einmal nicht.

Im Fall g=e, ist es immer Isomorphismus. Aber wie kann man realisieren, dass f einmal ein Isomorphismus ist, und einmal nicht.

LG.

Answer 1

In deiner Gruppe ist * die Verknüpfung. Es gibt also kein +.

Deshalb musst du zeigen

f(a*b) = f(a)*f(b)  für alle a,b aus G.

Also zeige g# *(a*b) * g ist

gleich (g# *(a*b) * g)*( g# *(a*b) * g ).

durch Anwendung der Gruppenaxiome.

Wähle einmal g=e (Das neutrale Element),

dann ist es offenbar immer ein Isomorphismus.