Aufgabe:
Gegeben ist das reellwertige integral
\( \int \limits_{-\pi}^{\pi} \cos (a x) \cos (b x) \cos (c x) \mathrm{d} x \)
wobel \( a, b, c \in \mathbb{R} . \)
Berechnen Sie das integral analytisch. Da das Ergebnis reellwertig ist, sollen in ihrem Endergebnis nur reellwertige Funktionen vorkommen.
Werten Sie das berechnete bestimmte Integral für a=0,1, b=−0,8 und c=3,4 aus und geben Sie Ihr numerisches Ergebnis als Dezimalzahl an.
Problem/Ansatz:
Bekannt ist die Formel
\( cos x \cos y \cos z=\frac{1}{4}(\cos (x+y-z)+\cos (y+z-x)+\cos (z+x-y)+\cos (x+y+z)) \)
davon das Integral ergibt sich aus dem Herausheben des Viertels und dem Berechnen der Teil-Integrale, also cos((a+b-c)x) dx + cos((b+c-a)x) dx,...wird zu sin((a+b-c)x)/(a+b-c) + sin((b+c-a)x/(b+c-a).....
Somit komme ich auf
\( \frac{1}{4}\left(\frac{\sin ((a+b-c) \times(-1) \pi)}{a+b-c}+\frac{\sin ((b+c-a) \times(-1) \pi)}{b+c-a}+\frac{\sin ((c+b-a) \times(-1) \pi)}{c+b-a}+\right. \)
\( \left.\frac{\sin ((a+b+c) \times(-1) \pi)}{a+b+c}\right) \) where \( a=0.1, b=-0.8, c=3.4 \)
und das mal zwei, da es ja minus dem gleichen Term mit -Pi gerechnet wird und sich die Vorzeichen damit ändern.
Das ergibt 0.587502. Das Ergebnis von cos(0.1x)cos(-0.8x)cos(3.4x) dx von -Pi bis Pi ergibt allerdings 0.481575.
Wo liegt mein Fehler? Ich bin mir ziemlich sicher, dass es nur eine Kleinigkeit ist, aber ich finde nichts.
