Zeigen, dass (t_(0), .. ,t_(n-1)) eine Basis von K^n

Question

Geg: Körper K, n-Tupel (x_(1), ... x_(n)) n∈IN_(0) in K mit verschiedenen Einträgen

Für j∈[0, n-1] sei t_(j) := (x^j_(1), ... , x^j_(n)).

Wie zeigt man nun dass (t_(0), .. ,t_(n-1)) eine Basis von K^n ist?

Comments

"n-Tupel (x₁, ... x_n) n∈IN₀ in K mit verschiedenen Einträgen"

Ist das wirklich alles, was du über diese n-Tupel weisst? 

Answer 1

Anzahl stimmt schon mal, da dim=n.
Und wenn
a₁*( (x⁰₁, ... , x⁰_n) + a₂* (x¹₁, ... , x¹_n) + ............. + an* (x^n-1₁, ... , x^n-1_n) = ( 0,.....0) ist, dann

( a₁x⁰₁+a₂x¹₁+ .....+an*x^n-1₁  ,   a₁x⁰₂+a₂x¹₂+ .....+an*x^n-1₁,.....  a₁x⁰₂+a₂x¹₂+ .....+an*x^n-1₁ ) = ( 0,.....0)

Damit hat das Polynom  a₁x⁰+a₂x¹+ .....+an*x^n-1 n verschiedene Nullstellen ist allerdings
aufgrund seiner Bauart nur von Grad ≤ n-1 , also ist es das Nullpolynom und
deshalb a0=a1=a2=....a_n-1 = 0   also sind die t_i linear unabh.