Beweis: Dreieck ist gleichseitig, wenn Schwerpunkt = Umkreismittelpunkt

Question

ich grübel schon ein paar Tage an einer Aufgabe und brauch nun ziemlich einen ausführlichen Mathematischen Beweis für folgendes Problem und ich würde mich freuen wenn ihn mir jemand liefern könnte.

Ich soll zeigen, dass ein Dreieck gleichseitig ist, wenn der Schwerpunkt des Dreiecks = dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist.

Mir ist bewusst, dass der Umkreismittelpunkt der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist.

Und, dass der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden ist.

Und wenn Umkreismittelpunkt = Schwerpunkt ist, dass die Seitenhalbierenden dann Senkrecht auf der Seite stehen.

Aber wie genau, kann ich jetzt mathematisch beweisen, dass das Dreieck dann gleichseitig ist. Kann mir das jemand mal (ausführlich) aufschreiben? Ich wäre euch sehr dankbar.

, Dennis

Answer 1

Die rote Linie ist die Mittelsenkrechte von AB und geht, da sie auch

Seitenhalbierende ist, durch C. Damit ist sie eine Symmetrieachse des

Dreiecks, und deshalb  | AC |= |BC|

Mit der anderen Mittelsenkrechten bzw. Seitenhalbierenden

argumentierst du für |AB |= |AC|

also alle drei gleich lang

Answer 2

Damit eine Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende Zusammenfallen muss die Gegenüberliegende Ecke der Seite auf der Mittelsenkrechten liegen. Damit ist allerdings die Mittelsenkrechte auch Spiegelachse und die beiden anderen Seiten gleich lang. Macht man das jetzt für alle 3 Seiten müssen immer 2 Seiten paarweise gleich lang sein was bedeutet, dass alle Seiten gleich lang sein müssen.