Entscheide, ob die Abbildungen linear sind und die darstellenden Matrizen der jeweiligen linearen Abbildung bestimmen.

Question

Aufgabe:

Entscheide, ob die Abbildungen linear sind und ggf. die darstellenden Matrizen der jeweiligen linearen Abbildung bestimmen.

\( \psi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}3 x+6 y \\ -2 x-4 y\end{array}\right) \)

\( \gamma: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}4 x^{2}-9 y^{2} \\ y\end{array}\right) \)

Comments

Schreib doch mal die Kriterien für Linearität hin und probier mal aus, was raus kommt, dann sehen wir weiter.

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Also ich habe folgende Kriterien gefunden:

1.) Die Summe der Bilder zweier beliebiger Vektoren aus V ist immer gleich dem Bild der Summe der beiden Vektoren
2.) Das Bild eines Vielfachen eines Vektors aus V ist immer gleich dem Vielfachen des Bildes des Vektors

und noch diese hier, wobei ich mir da auch nicht ganz sicher bin, wie die nun zu verstehen sind.

Kriterien für Linearität
1. L(a*x) = a * L(x)
2. L (x+y) = L(x) + L(y)

..wie kann ich diese Kriterien anwenden? hab da nicht viel Übung drin

Answer 1

Du hast gelernt: Eine Abbildung ist genau dann linear, wenn sie durch eine Matrix (genauer: mit konstanten Koeffizienten vermittelt wird (Kovalsky Bd. 1). Dies ist in Beispiel 1 der Fall.

Dagegen in Beispiel 2 wäre die Abbildungsmatrix ja selber eine Funktion von x und y.