Entscheide, ob folgende Abbildungen linear sind

Question

Sei P_n der ℝ-Vektorraum aller Polynome in einer Variable mit reellen Koeffizienten vom Grade höchstens n. Entscheide, ob folgende Abbildungen linear sind:

a)  T: P₇ → P₇, p(t) ↦ 2p''(t) + 2p'(t) +5p(t).
b) S: P₇ → P₇, p(t) ↦ t²p''(t) +p(t).

Soviel ich weiss, müsste ich ja für die Linearität zeigen dass:

f(u+v) = f(u) +f(v), u,v ∈ V und f(av) =af(v), a ∈ K, v ∈ V. Aber wie mache ich das bei Polynomen genau?

Answer 1

Hi,

entweder du fächerst das groß und detalliert auf indem du Polynome schön in Summendarstellung aufschreibst, oder aber du sparst dir sehr viel Mühe und verwendest die folgenden leicht zu zeigenden Behauptungen:

1) Ableitung von Polynom ist Polynom

2) Ableitung  ist eine lineare Abbildung auf P_n

Damit kannst du dann erkennen, dass beide linear sind.

Gruß

Comments

Danke, wie zeige ich Behauptungen genau, bei 1) nehme ich an, dass ich ein Polynom algebraisch 2mal ableiten muss, was mach ich ich aber um die Behauptung 2) zu zeigen?

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1) und 2) gehen direkt aus den Ableitungsregeln hervor:

zu 2) genauer. Sei \( p,q \in P_n, \) und \( a,b \in \mathbb{R} \). Dann gilt

$$[ap(x) + bq(x)]' = ap'(x) + bq'(x) $$

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Ok danke, ist b) nicht linear wegen diesem t², welches vor der zweiten Ableitung des Polynoms steht?

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Oh sorry, das war Käse b) ist natürlich auch linear.