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Bin gerade dabei für eine Klausur in Mikroökonomie zu lernen. Habe allerdings Probleme bei der Lagrangeoptimierung. Besonders das Auflösen der Gleichungen am Ende bereitet mir Schwierigkeiten
Die Aufgabe :
Gesucht ist die optimale Menge an Bier und Pizza
Budget : 180 EuroKosten Bier : 2 EuroKosten Pizza : 6 Euro
Nutzenfunktion : U(B,P) = B^{0.2} * P^{0.2} 
Meine Schritte :
1. Aufstellen der Budgetgleichung
2B + 6P - 180 = 0
2. Aufstellen der Lagrangefunktion
L(B,P,λ) = (B*P)^{0.2} + λ(2B+6P-180)
3. Partielles Ableiten der Bestandteile
dL/dB = 0.2B^{-0.8} * P^{0.2} + 2λ
dL/dP = B^{0.2} * 0.2P^{-0.8} + 6λ
dL/dλ = 2B+6P-180
4. λ isolieren und die partiellen Ableitungen von B und P gleichsetzen
(0.2B^{-0.8}*P^{0.2})/2 = (B^{0.2}*0.2P^{-0.8})/6
Peinlich, dass ich nicht weiß, wie ich nun die Brüche auflösen muss um an das Ergebnis zu kommen. :S. Zu meiner Ehrenrettung muss ich anmerken, dass in der Schule in Mathematik eher desinteressiert am Werk und meistens mit einem Punkt zufrieden war. Bin gerade dabei mir mühsamst das nötige Wissen wieder anzueignen. ( Hätte ich mir sparen können, ich weiß ).
Der nächste Schritt wäre dann soweit ich weiß, die werte dieser gleichung wieder in die Budgetbeschränkung einzusetzen. Kommt bei dieser Gleichung nicht auch das Austauschverhältnis der beiden Güter heraus ?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar und würde mich freuen ,wenn sich jemand die Mühe macht und mir antwortet,
Grüße,
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1 Antwort

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I:$$ 0 = 0.2B^{-0.8} * P^{0.2} + 2λ $$II:$$0 = B^{0.2} * 0.2 P ^{-0.8} + 6λ  $$
es genügt die eine Gleichung mit (-3) zu multiplizieren:$$$$
I:$$ 0 = -3\cdot \, 0.2B^{-0.8} * P^{0.2} -  3\cdot \, 2λ $$II:$$0 = B^{0.2} * 0.2 P^{-0.8} + 6λ  $$
Nun I und II addieren ...

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Danke erstmal für die schnelle Antwort


Kurze Frage,

Müsste ich bei einem multiplizieren der Gleichung mit -3 nicht auch P^{0.2} mit -3 multiplizieren?

Und kann ich überhaupt Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten addieren ?

Müsste ich bei einem multiplizieren der Gleichung mit -3 nicht auch P0.2 mit -3 multiplizieren?


Nein, denn folgendes ist gelaufen:

$$ 3 \cdot ( ab+c) = 3ab +3c $$

Distributivgesetz nennt sich das.

Falsch wäre und das ist hoffentlich klar:

$$ 3 \cdot ( ab+c) = 3a \cdot 3b +3c $$

weil dann der linke Summand , der zufällig aus einem Produkt gebildet wird, mit 9 anstatt mit 3 multipliziert würde.

Und kann ich überhaupt Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten addieren ? 

erst mal schon ... aber ohne Äpfel mit Birnen zu vermischen natürlich!

Nach der Addition und dem glücklichen Wegfall des Lambda schauen wir uns in Ruhe an, wie es weitergehen könnte.

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