Hallo, ich bin komplett am veweifeln an dieser Aufgabe, da die "digtial" stattfindende Lehre bei uns echt mies ist und nicht auf Fragen und Probleme eingegangen wird :( Ich bin mit den Nerven langsam echt am Ende.... Ich habe die Frage im Folgenden abgetippt und zu lösende Teile mit einem Fragezeichen markiert. Grundlegend habe ich einfache Zusammenhänge der Lagrange Rechnung verstanden, leider wird bei uns sogut wie nichts zu KKT Bedingungen und Komplementaritätsbedingungen erklärt, ich weiß einfach nicht mehr weiter :(
Es wäre soooo lieb, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Bestimmen Sie das Minimum von f(x,y) unter g(x,y)≥0 (unter der Annahme, dass dieses existiert), wobei f(x,y)=−2e^(6xy)−2 und g(x,y)=−y^2−(x^2)/4+8
.
1) Die Lagrange-Funktion zu obigem Problem lautet
L(x,y,m)= (???)−m*(???),
sodass die KKT-Bedingungen lauten:
I: 0=∂L∂x(x,y,m)= (???)
II: 0=∂L∂y(x,y,m)= (???)
III: 0= m*(???) [Komplementaritätsbedingung]
IV: 0≤m,0≤ (???)
2) Bestimmen Sie alle Lösungen des KKT-Systems durch Fallunterscheidung:
1. Fall: m=0: Dann vereinfachen sich die Gleichungen I und II und man erhält
x= (???)
und y= (???) als einzige Lösungen. Damit ergibt sich in diesem Fall als Lösunsmenge für die KKT-Bedingungen nur
(x,y,m)∈{??? }
2. Fall: m>0: Ist x=0 folgt wegen m>0 aus Gleichung III, dass
y∈{???}.
Mit diesen Werten für y folgt zusammen mit x=0 und m>0 aus Gleichung II, dass für m
nur die Werte {??? } in Frage kommen.
Ist y=0 folgt wegen m>0 aus Gleichung III, dass x∈{???}.
Mit diesen Werten für x folgt zusammen mit y=0 und m>0 aus Gleichung I, dass für m
nur die Werte {???} in Frage kommen.
Ist hingegen x≠0 und y≠0, so multipliziere man Gleichung I mit x und Gleichung II mit y, sodass man die Gleichungen
I': 0= (???)
II': 0= (???) erhält.
Durch Gleichsetzen der rechten Seiten von I' und II' folgt
y^2=(???), was eingesetzt in Gleichung III wegen m>0 ermöglicht, nach x aufzulösen mit x∈{???}, was wiederum
y∈{???} liefert.
Setzt man alle möglichen Kombinationen dieser x und y Werte in Gleichung I ein und löst diese nach m auf, erhält man wegen m>0 , dass nur bestimmte x−y−Kombinationen auch tatsächlich m>0 liefern.
Insgesamt erhält man falls m>0 die folgende Lösungsmenge für die KKT-Bedingungen
(x,y,m)∈{???}
3) Für welche (x,y), die die Nebenbedingung g(x,y)≥0 erfüllen, gilt ∇g(x,y)=(0,0)?
Wegen
∇g(x,y)=(???) folgt {(x,y):g(x,y)≥0,∇g(x,y)=(0,0)}={???}
Unabhängig von den (x,y)−Anteilen der Lösungen der KKT-Bedingungen aus dem 2. Abschnitt, kommen die gerade bestimmten (x,y) ebenfalls für die Minimalstellen von f
unter g≥0 in Frage.
Hinweis: Möglicherweise ist ein Teil der gerade ermittelten
(x,y) Paare bereits im 2. Abschnitt bestimmt worden
4) Unter der Annahme, dass f unter der Nebenbedingung g≥0 ein Minimum annimmt, lautet dieser Minimalwert (???)
Vielen Dank!
