Reihensummen bestimmen im Vergleich zu S = Σ (1/n^2)

Question

Aufgabe:

Sei \( S \) der Wert der konvergenten Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \). Zeigen Sie:

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{3}{4} S \quad \) und \( \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}=\frac{1}{4} S \)

(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=\frac{1}{2} S \)

Answer 1

Erster Teil von a):

Im Vergleich zur gegebenen Reihe werden die geraden und die ungeraden Summanden separat addiert.

Sie müssen zusammen S geben. Daher ist die erste Summe S - 1/4 S = 3/4 S.

Comments

Das versteh ich grade leider nicht .. Kannst du es mir genauer erläutern ?

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2n sind alle geraden Zahlen grösser 0.

2n-1 sind alle ungeraden Zahlen grösser 0.

n sind alle natürlichen Zahlen grösser 0.

(b) ist dann übrigens die erste von (a) Minus die zweite von (a)

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ok ja das ergibt alles Sinn nur bekomme ich immer noch keinen Wert raus ..

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Das ist in der Fragestellung auch nicht verlangt. Du sollst nur begründen, weshalb 3/4 S, 1/4 S und 1/2 S rauskommt. S sollst du als bekannt voraussetzen.

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Ja das ist mir bewusst aber das ganze Ende ist ja ein Wert . Nur weiß ich ehrlich nicht wie ich drauf kommen soll, dass die voneinander abhängen bis auf die eine eben . Hab da schon lange jetzt dran gesessen

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Es steht da: "Sei S der Wert der konvergenten Reihe ....."

Daher musst du S nicht ausrechnen, sondern nur benutzen.

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Ja das ist mir bewusst das habe ich auch in meine Überlegungen miteingebunden aber komme leider trotzdem auf keine Lösung

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Die Zweite von a) hast du angeblich selbst hinbekommen. (1/(2n))^2  = 1/4 * 1/n^2 und 1/4 vor das Summenzeichen gezogen.
Die Erste von a) und b) habe ich dir vorgerechnet.
Was genau willst du noch machen?

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Die erste von der a) bekomm ich irgendwie nicht hin das ist mein Problem . Also ich hab 1 - 1/4 S gerechnet aber Komme halt nicht auf die genannte summe.Könntest du mir bitte  die genau vorrechnen ?

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Du musst S -1/4 S rechnen. Vgl. meine Antwort.

Nenne die Erste bei a) A, die zweite bei a) B und die bei b) C.

Dann gilt. A + B = S

und A - B = C.

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Das habe ich getan aber komme trotzdem nicht zu der ersten Gleichung ..

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Hast du nicht.

In der ersten Zeile musst du am Schluss = 1/4 S schreiben. Nicht - 1/4 S.

Die 2. Zeile nach dem gleich muss heissen Σ (1/(2n+1))^2 . Als Begründung: Meinen Text abschreiben.

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Das ist ein "=" aber tut ja nun nichts zur Sache .. Ich verstehe es immer noch nicht vielleicht stehe ich einfach auf dem Schlauch .. Ich hätt das gerne für eine Klausur gelöst aber komme halt nicht mehr weiter ..

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Wenn du meinen Text wirklich nicht verstehst, schreib es halt aus:

A = 1/1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 usw...

B = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + 1/8^2 usw...

S = 1/1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 usw...

S = A + B.

C = 1/1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + 1/5^2 -1/6^2 + 1/7^2 ....

Also C = A - B.

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Ah super danke jetzt hab ich es verstanden , danke !

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Bitte. Gern geschehen!

Beachte: Man darf nur so argumentieren, wenn man weiss, dass alle Resultate A,B,C und S endliche Zahlen sind.