Aufgabe:
Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Weiterhin sei \( u(x)=y(x) / x \) für \( x \neq 0 \).
Zeigen Sie die folgende Behauptung:
Die Funktion \( y: I \rightarrow \mathbb{R} \) löst genau dann das Anfangswertproblems
\( y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} \)
wenn die Funktion \( u: I \rightarrow \mathbb{R} \) eine Lösung des Anfangswertproblems
\( u^{\prime}=\frac{f(u)-u}{x}, \quad u\left(x_{0}\right)=\frac{y_{0}}{x_{0}} \)
ist.
Ansatz/Problem:
Es ist klar, dass ich Hin- und Rückrichtung zeigen muus. Mit y(x0) und u(x0) habe ich es geschafft, aber wie zeigt man die y' und u'?