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Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Weiterhin sei \( u(x)=y(x) / x \) für \( x \neq 0 \).

Zeigen Sie die folgende Behauptung:

Die Funktion \( y: I \rightarrow \mathbb{R} \) löst genau dann das Anfangswertproblems

\( y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} \)

wenn die Funktion \( u: I \rightarrow \mathbb{R} \) eine Lösung des Anfangswertproblems

\( u^{\prime}=\frac{f(u)-u}{x}, \quad u\left(x_{0}\right)=\frac{y_{0}}{x_{0}} \)

ist.


Ansatz/Problem:

Es ist klar, dass ich Hin- und Rückrichtung zeigen muus. Mit y(x0) und u(x0) habe ich es geschafft, aber wie zeigt man die y' und u'?

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(1) wenn \(  y' = f\left( \frac{y}{x} \right) \) mit \( y(x_0) = y_0 \) gilt, folgt mit \( u = \frac{y}{x} \)

$$ y' = u'x+u = f(u)  $$ und deshalb $$  u' = \frac{f(u) - u}{x} $$ und \( u(x_0) = \frac{y_0}{x_0} \)

(2) wenn gilt $$ u' = \frac{f(u) - u}{x}  $$ und \( u(x_0) = \frac{y_0}{x_0}\) dann folgt

$$  u' = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2} = \frac{ f\left(  \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} }{x} $$ also

$$  y' = f\left(  \frac{y}{x} \right) $$ und \(  y(x_0) = u(x_0) x_0 = y_0 \)

Damit ist alles bewiesen.

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