Zeigen Sie die folgende Behauptung (homogene DGL 1. Orgnung)

Question 1

Aufgabe:

Es sei $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ eine stetige Funktion. Weiterhin sei $ u(x)=y(x) / x $ für $ x \neq 0 $.

Zeigen Sie die folgende Behauptung:

Die Funktion $ y: I \rightarrow \mathbb{R} $ löst genau dann das Anfangswertproblems

$ y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} $

wenn die Funktion $ u: I \rightarrow \mathbb{R} $ eine Lösung des Anfangswertproblems

$ u^{\prime}=\frac{f(u)-u}{x}, \quad u\left(x_{0}\right)=\frac{y_{0}}{x_{0}} $

ist.

Ansatz/Problem:

Es ist klar, dass ich Hin- und Rückrichtung zeigen muus. Mit y(x0) und u(x0) habe ich es geschafft, aber wie zeigt man die y' und u'?

Question 2

(1) wenn $ y' = f\left( \frac{y}{x} \right) $ mit $ y(x_0) = y_0 $ gilt, folgt mit $ u = \frac{y}{x} $

$$ y' = u'x+u = f(u) $$ und deshalb $$ u' = \frac{f(u) - u}{x} $$ und $ u(x_0) = \frac{y_0}{x_0} $

(2) wenn gilt $$ u' = \frac{f(u) - u}{x} $$ und $ u(x_0) = \frac{y_0}{x_0}$ dann folgt

$$ u' = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2} = \frac{ f\left( \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} }{x} $$ also

$$ y' = f\left( \frac{y}{x} \right) $$ und $ y(x_0) = u(x_0) x_0 = y_0 $

Damit ist alles bewiesen.