Zeigen Sie die folgende Behauptung (homogene DGL 1. Orgnung)

Question

Aufgabe:

Es sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Weiterhin sei $u(x)=y(x) / x$ für $x \neq 0$.

Zeigen Sie die folgende Behauptung:

Die Funktion $y: I \rightarrow \mathbb{R}$ löst genau dann das Anfangswertproblems

$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

wenn die Funktion $u: I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$u^{\prime}=\frac{f(u)-u}{x}, \quad u\left(x_{0}\right)=\frac{y_{0}}{x_{0}}$

ist.

Ansatz/Problem:

Es ist klar, dass ich Hin- und Rückrichtung zeigen muus. Mit y(x0) und u(x0) habe ich es geschafft, aber wie zeigt man die y' und u'?

Answer 1

(1) wenn $y' = f\left( \frac{y}{x} \right)$ mit $y(x_0) = y_0$ gilt, folgt mit $u = \frac{y}{x}$

$$y' = u'x+u = f(u)$$ und deshalb $$u' = \frac{f(u) - u}{x}$$ und $u(x_0) = \frac{y_0}{x_0}$

(2) wenn gilt $$u' = \frac{f(u) - u}{x}$$ und $u(x_0) = \frac{y_0}{x_0}$ dann folgt

$$u' = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2} = \frac{ f\left( \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} }{x}$$ also

$$y' = f\left( \frac{y}{x} \right)$$ und $y(x_0) = u(x_0) x_0 = y_0$

Damit ist alles bewiesen.