Zeigen Sie, dass es eine Verteilung des gesamten Vermögens aller Banken auf die Banken B_{1}, ..., B_{n} gibt

Question

In einem geschlossenen Bankensystem betrachten wir insgesamt n Banken B₁,....B_n mit n∈IN. Zwischen diesen Banken finden täglich Geld- und Wertpapiertransaktionen statt. Jeden Tag überträgt die Bank B_j den Anteil β_i,j ihres Gesamtvermögens an die Bank B_i, mit 0≤β_i,j≤1 für i,j=1,...,n. Dabei sollen andere Veränderungen des Vermögens, etwa durch Kursschwankungen, außer Acht gelassen werde.

Zeigen Sie, dass es eine Verteilung des gesamten Vermögens aller Banken auf die Banken B₁,...,B_n gibt, so dass sich das Vermögen jeder Bank am Ende eines Tages trotz Transaktionen nicht verändert.

Meine Ansätze:

- Die β_i,j stellen wohl eine Verteilungsmatrix da

- Vermutlich hat das ganze auch etwas mit Eigenwerten und Bewegungen zu tun (...?)

- Annahme: Die Bank B₁überträgt den Anteil β_i,1 an die Bank B_i, woher weiß ich an welche der Banken i=1,...,n die Transaktion stattfindet?

LG Veronika

Answer 1

Hallo Veronika,

Die Einträge \(\beta_{i,j} \) bilden zusammen eine stochastische Matrix. Du sollst zeigen, dass es immer eine stabile Verteilung (ungleich dem Nullvektor) gibt. Das wäre äquivalent zu der Frage, ob eine solche Matrix den Eigenwert 1 besitzt.

Gruß

Comments

Erstmal vielen Dank für deine Antwort.

In der vorherigen Teilaufgabe haben wir bereits bewiesen, dass eine Matrix A mit den Einträgen a_ij  den Eigenwert 1 besitzt, falls die Summe aller Einträge 1 ist.

Das bedeutet doch, dass ich nur noch die Äquivalenz beweisen muss. Allerdings haben wir in der Vorlesung eine stabile Verteilung noch nie definiert.

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Hier ist aber nicht die Summe aller Einträge 1 sondern alle Spaltensummen oder meintest du das :)

Nicht schlimm, das war nur ein Begriff der hier nicht unbedingt nötig ist deswegen die äquivalente Formulierung.

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Ne ich meinte das schon mit der Summe aller Einträge... ;)

Hmm, wäre es denn ok, wenn ich wie folgt Argumentiere:

Gesucht: Verteilung die am Ende nichts Verändert hat

Definiere:

Verteilungsmatrix:= A

Vermögen der Banken:= (Bij)   //(soll als Matrix hier stehen)

A*(Bij)=(Bij)

<=> λ*(Bij)=(Bij)  //(Definition Eigenwert)

<=> λ=1

=> Eine Verteilung existiert, wenn die passende Verteilungsmatrix den Eigenwert 1 besitzt.

Und Fertig (reicht das so?)

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Also zuerstmal macht das mit der Summe aller Einträge so keinen Sinn. Man nehme zig Diagonalmatrizen als Gegenbeispiel.

Zum zweiten: Deine Notation ist auch irreführend.

Eigentlich ist die Verteilungsmatrix \(A\) durch die Einträge \(\beta_{i,j} \) gegeben. Das Vermögen kann durch einen Vektor \( x = (x_1,...x_n)^T \) dargestellt werden, wobei \(x_i\) das Vermögen der Bank \(B_i\) ist.  Was du zeigen sollst ist, dass es ein solches \(x\) gibt, so dass

$$ Ax = x $$

gilt. Sprich die Matrix \(A\) soll den Eigenwert 1 haben.

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Ok, aber ist es nicht eigentlich egal wie das Vermögen der einzelnen Banken aussieht, wenn doch die Verteilungsmatrix den Eigenwert 1 besitzt. Sie verändert doch nichts...

Sorry stehe gerade echt aufm Schlauch :(

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Nur weil sie den Eigenwert 1 besitzt heißt es nicht dass jedes Vermögen auf sich selbst abgebildet wird. Der Vermögensvektor muss ja ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 sein!