Exponentialfunktion heißt :
Die Variable steht im Exponent.
a = b^x
c = d^{4*x}
g = 5^x
Beispiele
k ( x ) = k0 * f ^x
Dies wäre eine Formel zur Zineszinsrechnung
Wie groß ist ein Kapital von 1000 € nach 4 Jahren bei einem Zinssatz von 5 %.
k ( x ) = 1000 € * 1.05^4 = 1000 * 1.2155 = 1215,50 €
Die Basis für Exponentialfunktionen kann beliebig gewählt werden
2^x
3^x
e^x ( e ist eine Zahl : 2,71^x )
Jede Exponentialfunktion kann in eine andere Exponentialfunktion
mir anderer Basis umgewandelt werden.
a^x = b^y | ln () auf beiden Seiten
ln ( a^x ) = ln ( b^y )
x * ln ( a ) = y * ln ( b )
y = x * ln ( a ) / ln ( b )
a^x = b^y
a^x = b^{x*ln[a]/ln[b]}
Die e Funktion ist deshalb beliebt weil sie die Umkehrfunktion von ln ( ) ist.
e ln ( x) = x
oder
ln e^x = x
a^x = e^y | ln () auf beiden Seiten
ln ( a^x ) = ln ( e^y )
x * ln ( a ) = y * ln ( e )
x * ln ( a ) = y * 1
y = x * ln ( a )
a^x = e^y
a^x = e^{x*ln[a]}
Beispiel
4^x = e^{x*ln[4] }
~plot~ 4^x ~plot~
ln ( 4 ) = 1.386
~plot~ e^{(1.386*x)} ~plot~
