Berechnen der Lösungsmenge

Question

Die Aufgabe ist: Berechnen Sie die Definitions- und Lösungsmenge von:

(x + (1/x))² - 12 = x+( 1/x)

wenn ℝ die Grundmenge ist.

Definitonsmenge zu bestimmen war einfach: D = ℝ / {0}

Irgendwie will sich die Lösungsmenge nicht finden lassen....

Answer 1

$$ (x + (1/x))^2 - 12 = x+( 1/x)  $$
$$ x+ \frac 1x  =  s$$
$$ s^2 - 12 =  s  $$
$$ s^2 -s- 12 =  0  $$
Pee-Kuh-Formel ... und dann resubstituieren:
$$ x+ \frac 1x  =  s$$
$$ x^2+  1  =  sx$$
$$ x^2  -sx+  1  =0$$
un nochemol Pee-Kuh-Formel ... un uffbasse!

Answer 2

Zur Kontrolle
x = ±√ 3 + 2
x = ±√ 5  / 2   - 3 / 2

Beide Seiten der Gleichung als Funktionen.

~plot~ ( x + ( 1 /x ) )^2 - 12 ; x + ( 1 / x) ; [[ -5 | 5| -8 | 15 ]] ~plot~

Answer 3

Hi, es bietet sich der Satz von Viéta an:

$$ \left(x + \frac 1x\right)^2 - 12 = \left(x + \frac 1x\right) \quad\Leftrightarrow\\\,\\ \left(x + \frac 1x\right)^2 - \left(x + \frac 1x\right) - 12 = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\   \left(\left(x + \frac 1x\right) + 3\right) \cdot \left(\left(x + \frac 1x\right) - 4\right) = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\   x^2+3x+1=0\quad\lor\quad x^2-4x+1=0 $$