Aufgabenstellung mit Limes und Tipps .... lim f(x) = 0 ==> lim(1/f(x)) = unendlich?

Question

Aufgabe:

Sei \( c \in \bar{D}, f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R} \) Zeigen Sie, dass

(a) Falls \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x)=0 \) und falls \( s>0 \) existiert mit \( f(x)>0 \) fuir alle \( x \in[c-s, c+s] \cap \) \( D \backslash\{0\} \), so ist \( \lim \limits_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)}=\infty \)

(b) Falls \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=0 \) und falls \( T>0 \) existiert mit \( f(x)<0 \) für alle \( x \geq T \), so ist \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{f(x)}=-\infty \)

Answer 1

Hi,
bei (a) ist zu zeigen, dass es zu jedem \( 0 < M \in \mathbb{R} \) ein \( \delta > 0 \) gibt, s.d. \( \frac{1}{f(x)} > M \) für alle \( x \) mit \( | x - c | < \delta \)
Wahrscheinlich hat sich aber in der Aufgabenstellung ein Fehler eingeschlichen, es muss wohl lauten \( D \setminus \{c\} \) und nicht \( D \setminus \{0\} \)

Bei (b) ist zu zeigen, dases zu jedem \( 0 > M \in \mathbb{R} \) ein \( 0 < S \in \mathbb{R} \) gibt, mit \( \frac{1}{f(x)} < M \) für alle \( x > S \)