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Gegeben sei die Funktion f: [2,∞) → ℝ: x → x3 -3x2 -1
Berechnen sie die Ableitung f -1 (y) an der Stelle y= - 1

Ich vermute man muss hier mit f -1 (y)= 1/(f ' (f-1 (y)) arbeiten.

f abgeleitet wäre 3x2-6x, ich vermute stark, dass es nicht stimmt, das zusammen mit  -1 in die oben genannte formel einzusetzen und somit auf ein Ergebnis von 1/9 zu kommen.

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da \( f^{-1}(-1) = 3 \) sind deine Berechnungen korrekt.

Gruß

Avatar von 23 k
Würdest du mir auch noch verraten wie du auf f-1(-1)=3 kommst? Dann wäre mir die Aufgabe klar
Wenn ich mir die Umkehrfunktion f-1 an einem Rechner erstellen lasse, kommt da ein sehr kompliziertes Wurzelgebilde raus, da die Aufgabe aber ohne Taschenrechner gedacht ist, sollte es einen einfacheren Weg geben

Sinn der Aufgabe ist es ja grade die Umkehrfunktion zu umgehen :).

Du musst dir nur die Lösungen der Gleichung \(f(x) = -1\) anschauen.

Ah und für x=3 kriegt man dieses f(x)=-1, ok habs verstanden vielen Dank

Ja schon, der Hinweis war vielleicht nicht deutlich genug

x^3-3x^2-1 = -1

x^3-3x^2 = 0

x^2(x-3) = 0

x = 0 oder x=3

Die erste Lösung interessiert uns nicht.

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f = funktion
f  ( x ) = x^3 - 2 * x^2 - 1

g = umkehrfunktion

g [ f ( x ) ] = x

Ableiten
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1
g ´( -1 ) ist gesucht
f ( x ) = -1
Dadurch ergibt sich
x = 0

Nun ist aber die Funktion f nur im Bereich [ 2 ; ∞ [  definiert.
x = 0 liegt nicht im Def-Bereich.

~plot~ x^3 - 2 * x^2 - 1 ; [[ -1 | 2 | -4 | 0 ]] ~plot~

f ´( x ) = 3 * x^^2 - 4 * x
f ´( 0 ) = 0

g ´ (-1 ) müßte ∞ sein.

Irgendwo stimmt alles nicht so recht.

Avatar von 123 k 🚀

Die Aufgabe hat sich erledigt (s. oben) zu deiner Rechnung du hast die Gleichung falsch abgeschrieben es ist 3x^2 nicht 2x^2

Es gibt noch einen 2.Punkt ( 3 | -1 )
f ´( x ) = 3 * x2 - 6 * x
f ´( 3 ) = 3 * 9 - 6 * 3
f ´( 3 ) = 9

g´( -1 ) = 1 / f ´( 3 ) = 1 / 9




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