Lass und dann doch erstmal mit der Konvergenz für \( |x| < 1 \) beginnen.
Dein Ansatz mit einer Abschätzung ist schon mal ein nützlicher Weg.
Mein Hinweis war ja die absolute Konvergenz, versuch also nun eine Abschätzung zu finden:
$$ \left| \frac{x^n}{1+x^n} \right| \leq b_n $$
so dass \( \sum b_n \) konvergiert.
Die geometrische Reihe kann dir auch hier helfen.