Für welche x konvergiert die Reihe

Question

hab hier mal eine Aufgabe...

Aufgabe: wir haben x ∈ ℝ\{-1}. Für welche x konvergiert die Reihe ∑_n=1 ∞  xⁿ /(1+xⁿ )

Answer 1

du kannst zeigen dass die Reihe für \( |x| < 1 \) (absolut) konvergiert und sonst divergiert.

Gruß

Comments

hey Yayku ich hab des jetzt mal des ausprobiert und komm auf ein wert 0 raus kann des sein... oder ich hab irgendwas falsch gemacht. also ist es doch dann konvergent

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komm auf ein wert 0 raus kann des sein... 
Was meinst du damit? Nen konkreten Wert sollst du nicht berechnen, es geht einfach nur um die Frage der Konvergenz.    oder ich hab irgendwas falsch gemacht.
Das kann ich dir nicht sagen wenn du mir nicht sagst was du nun genau gemacht hast :D

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also ich hab gezeigt das die reihe Konvergenz ist

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Ok bloß nicht zu ausführlich ;). Dann bist du also fertig?

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also ich hab ja die reihe gegeben dann hab ich es so gemacht.

dass für alle Summanden a_k := x^k / 1+x^k < x^k /x^k = (x/x)^k := c_k gilt

für die geometrische reihe ∑_k=1  (gegen unendlich) c_k gilt aber ∑_k=1 (x/x)^k =1 / (1-(x/x) = 1/(1-1)= 0 damit ist es doch konvergent

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Also die Abschätzung bringt dich nirgendwohin. 
x/x ist 1 wie du ja sicherlich am Ende gemerkt hast. Das heißt die Reihe \(\sum \frac{x}{x} \) ist schon mal divergent. Spätestens an dieser Stelle hätte das Blatt im Papierkorb enden sollen.
Aber um noch die weiteren Fehler aufzurufen: Die geometrische Reihe gilt nicht für q = 1, was man ja schon am deutlichsten am Grenzwert erkennen kann
1/(1-1) wäre ja 1/0, an dieser Stelle läuft dir jeder Mathematiker schreiend aus dem Raum vor Angst ;). Vor allem aber ist 1/0 sicherlich nicht 0.

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ja okay des war jetzt eine Lösung ohne richtig nachgedacht zu haben...

kannst du mir helfen die Aufgabe zu lösen? :)

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Lass und dann doch erstmal mit der Konvergenz für \( |x| < 1 \) beginnen.

Dein Ansatz mit einer Abschätzung ist schon mal ein nützlicher Weg.

Mein Hinweis war ja die absolute Konvergenz, versuch also nun eine Abschätzung zu finden:

$$ \left| \frac{x^n}{1+x^n} \right| \leq b_n $$

so dass \( \sum b_n \) konvergiert.

Die geometrische Reihe kann dir auch hier helfen.

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mich stört einfach des obere xⁿ  weil ich nicht weiß nicht so genau wie ich mit der eine geometrische reihe bilden soll

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... Eine Beispielhafte Abschätzung wäre $$ b_n = \frac{1}{1-|x|} |x|^n $$

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stimmt man kann ja des einfach rausziehen... also ist jetzt b_n konvergiert.

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Das die Folge konvergiert sollte klar sein,

warum die Summe \( \sum b_n \) konvergiert und warum daraus folgt das nun die ursprüngliche Reihe konvergiert solltest du dir selber überlegen.

Ebenso als nächstes warum deine Reihe für \( x = 1 \) und \(|x| > 1 \) divergiert.

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okay und wenn ich des also hingeschrieben hab dann ist die Aufgabe fertig..

danke :)