Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe Σ_{n=1}^{∞}{n} \ √[n]{x} -1)?

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\sqrt[k]{a}-1} \)

Problem/Ansatz:

Hallo lieber Mathelounge,

ich komme bei einer aktuellen Aufgabe meiner Mathevorlesung nicht weiter:

Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\sqrt[k]{a}-1} \)?

Angegeben ist noch der Tip, dass eine Fallunterscheidung für a ∈ ℝ+ mit \( \frac{r}{n} \) < \( \sqrt[n]{a} \) -1 bzw. \( \frac{r}{n} \) > \( \sqrt[n]{a} \) -1 und (1+\( \frac{r}{n} \))^n -> \( e^{r} \) für n → ∞ gilt und der dritte Fall nicht vergessen werden soll.

Es ist klar, dass das für a = 1 der Fall ist, aber für den Rest komme ich einfach nicht weiter. Auch, ob ich die ganze Sache auch für a < 0 betrachten soll, ist mir vollkommen unklar :(

Ich würde mich sehr sowohl über Lösungen als auch Ansätze freuen...

Viele Grüße!

Comments

lim a^(1/k) = 1 für |a|<1 und k ->oo

Answer 1

Hallo,

vielleicht geht es so:

Für \(a>1\) ist

$$\sqrt[k]{a}-1=\exp(\frac{1}{k}\ln(a))-1=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}\frac{1}{k^m}(\ln(a)^m)\geq \frac{\ln(a)}{k}$$

(Abschätzung durch den ersten Summanden, weil alle Summanden positiv sind.) Damit hätten wir eine divergente Majorante.

Für \(a \in (0,1)\) ist der Summand negativ, wir betrachten

$$1-\sqrt[k]{a}=(\sqrt[k]\frac{1}{a}-1)\sqrt[k]{a}\geq (\sqrt[k]\frac{1}{a}-1)a$$

und hätten nach dem Vorigen ebenfalls eine divergente Minorante.