Aufgabe:
Es sei \( V \) der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum aller Funktionen von \( [0,1] \) nach \( \mathbb{R} \), wobei die Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert ist durch \( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \) und \( (\alpha f)(x):=\alpha f(x) \) für alle \( f, g \in V, \alpha \in \mathbb{R} \).
1. Zeigen Sie, dass \( f_{1}, f_{2}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f_{1}(x)=e^{x} \) und \( f_{2}(x)=x^{2} \) linear unabhängig sind.
2. Für jedes \( a \in[0,1] \) betrachten wir \( g_{a}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch \( g_{a}(a)=1 \) und \( g_{a}(x)=0 \) falls \( x \neq a . \) Zeigen Sie, dass \( M:=\left\{g_{a} \mid a \in[0,1]\right\} \) eine linear unabhängige Familie ist. Folgern Sie, \( \operatorname{dass} \operatorname{dim}(V)=\infty \).
3. Es sei
\( M^{\prime}:=\{f \in V||\{x \in[0,1] \mid f(x) \neq 0\} \mid<\infty\} \)
Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Span}(M)=M^{\prime} \).
Ansatz/Problem:
Die erste Aufgabe und zweite Aufgabe sind bereits gezeigt. Nur wie soll ich an die dritte Aufgabe rangehen? Soll ich zeigen, dass der M' das erzeugende System von Span (M) ist?
Oder soll man einfach zeigen, dass der Span(M) das erzeugende System von M' ist? (Was für mich logischer klingt als der obere quatsch, den ich geschrieben habe)
