Integral ableiten ∫ 0 bis sin (x) für √(1+t+t²) dt

Question

Ich soll die erste Ableitung der Funktion

$$ g ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \sin x } \sqrt { 1 + t + t ^ { 2 } } d t $$

für x∈ℝ bestimmen.

Wie bestimmt man denn die Ableitung von Integralen? Muss ich nur die Wurzel betrachten?

Und noch eine Frage: Ich habe die erste Ableitung von f(x)=(sin x)^{cos x} bestimmt, die soll gelten für 0<x<π. Wie kann ich überprüfen, ob die wiklich für dieses Intervall gilt? Oder muss man das nicht?

Comments

Hi

Wenn Du eine Formelsammlung hast, dann schau doch mal unter Ableitung parameterabhängiger Integrale nach. Ich könnte jetzt auch nicht mehr machen als abschreiben was da steht.
Wenn Du noch eine Erklärung wünscht --> Kommentar.

lg JR


 

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Zur Ableitung von Integralen habe ich in meiner Formelsammlung nichts gefunden.

Und meine zweite Frage würde so auch nicht beantwortet werden. ;)

Answer 1

Du kannst hier den Hauptsatz der Integralrechnung ausnutzen:

Es gilt ja

$$ \int _ { 0 } ^ { x } f ( y ) d y = F ( x ) - F ( 0 ) $$

Das gibt, wenn man die rechte Seite ableitet einfach F'(x) = f(x).

Wenn die obere Grenze dagegen eine Funktion h(x) ist, dann gilt einfach (F(h(x)) - F(0))' = F'(h(x)) * h'(x) = f(h(x))*h(x)

In deinem Fall musst du also im Integral für t überall sin(x) einsetzen und das Ergebnis mit der Nachdifferentiation cos(x) malnehmen:

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) ^ { * } \sqrt { 1 + \sin ( x ) + \sin ^ { 2 } ( x ) } $$