Ich mach dir die ganze Kurvendiskussion; das ist mein Hobby. Hier ===> " wirst du geholfen " Fang doch erst mal mit der Symmetrie an; wir haben Nullpunktsymmetrie. Aaha; wir beschränken uns schon mal auf die rechte halbe Bene.
Polynome sind immer auf ganz |R definiert; von Wegen " Das hattet ihr noch nicht " Im Übrigen schätze ich diesen Murx gar nicht; wir bringen alles immer auf die ===> primitive Form ( ganzzahlig gekürzt )
f ( x ) := 3 x 5 - 40 x3 = ( 1a )
= x ³ ( 3 x ² - 40 ) ( 1b )
Diktat für das Regelheft. Eine ( mehrfache ) Nullstelle ungerader Ordnung - hier: 3-fache im Ursprung - ist immer ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) Jetztbleibt dir noch die quadratische Gleichung in der Klammer zu lösen:
3 x ² - 40 = 0 ===> x4 = sqr ( 40/3 ) ( 2a )
Im Übrigen bin ich ein ganz ein scharfer Hund; TR is nich bei mir. In Kl. 10 hast du gelernt, wie man diese Wurzeln auflöst. Was, bitte, ist sqr ( 40 ) ? Ohne Primfaktorenzerlegung geht das schon mal gar nicht.
40 = 2 ³ * 5 = 2 ² ( 2 * 5 ) = 2 ² * 10 ( 2b )
Sämtliche geraden Exponenten nach VORNE; was hinten bleibt, sind nur lineare Primfaktoren. Weil aus geraden Potenzen können wir ja die Wurzel ziehen:
sqr ( 40 ) = 2 sqr ( 10 ) ( 2c )
sqr ( 40/3 ) = 2 sqr ( 10/3 ) = 2/3 sqr ( 30 ) ( 2d )
Erinnerst du dich? Im Nenner dürfen nie irrationale Größen stehen. Alles was du gelernt hast, kannst du hier anwenden. Übrigens die Bezeichnung x4 in ( 2a ) ; im Ursprung hast du ja die 3-fache x1;2;3 = 0 .
Halt stop; Ableiten is noch lange nich. Ihr vergesst immer die Grobskizze. Wegen der Symmetrie reicht es, wenn wir von Rechts kommen; jedes Polynom kommt asymptotisch von ( + °° ) Bei x4 hast du den Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus und im Ursprung wegen TP einen abermaligen Wechsel nach Plus. Insgesamt erwarten wir
0 < x ( w ) < x ( min ) < x4 ( 3 )
Die Ableitung bilden wir mit der Methode des ===> logaritmischen Differenzierens, einer Unterart des ===> impliziten Differenzierens. Das bietet den Vortei, dass die Rechenstufe vermindert wird. Gleich aus Darstellung ( 1b ) ( nach der du dich ja ursprünglich erkundigtetest )
ln ( y ) = 3 ln ( x ) + ln ( 3 x ² - 40 ) ( 4a )
y ' / y = 0 = 3 / x + 6 x / ( 3 x ² - 40 ) | : 3 ( 4b ) ( Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen )
1 / x + 2 x / ( 3 x ² - 40 ) = 0 ( 4c )
5 x ² - 40 = 0 ( 4d )
x ( min ) = sqr ( 40/5 ) = ( 4e )
= sqr ( 8 ) = ( 4f )
= 2 sqr ( 2 ) ( 4g )
Warum tu ich das jetzt so komisch auseinander schreiben? Wir müssen ja noch Ungleichung ( 3 ) nachprüfen. Vergleiche einfach ( 2a ) mit ( 4e ) ; alles, was du wissen musst: " 3 < 5 " Also nicht immer gleich sofort den TR aus der Schublade ziehen ...
Ach so; solltest du jetzt einwenden, die " Ableitung von Logaritmus war noch nicht dran " - ätsch bätsch; " giltet nix " Aus dem Telekolleg weiß ich zufällig: Logaritmusist DEFINIERT als die aufleitung der Normalhyperbel 1/x . Und eine Definition kann man bekanntlich nicht " hinterfragen "
Schönen Gruß an deinen Lehrer. Ich biete dir ein ===> Sokratisches Gespräch an.
Wie würdest DU denn Logaritmus definieren? Siiiste; keine Ahnung ...
( Du weißt es " nicht nur nicht; du weißt nicht mal, dass du es nicht weißt. " )
Jetzt benötigen wir aber noch die erste Ableitung für die WP zu bilden. Wir haben sie aber nur indirekt erschlossen. Null Ploblemo; eine 3-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist immer noch eine doppelte der ersten Ableitung. Dazu hast du ja noch die beiden Extrema ( 4d )
f ' ( x ) = x ² ( x ² - 8 ) = ( 5a )
= x ^ 4 - 8 x ² ( 5b )
( 5b ) ist eine biquadratische Funktion ( BQF ) diese notiere ich in der Form
g ( x ) := x ^ 4 - p x ² + q ( 6a )
Mehr brauchen wir nicht zu tun; im Gegentum zu deinem Lehrer hab ich nämlich meine Hausaufgaben gemacht. Eine Kategorienlehre für BQF bereits Mund gerecht für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft. WP sind definiert als Extrema der ersten Ableitung. Was für Extrema hat ( 6a ) ?
Nun; die ===> Topologie von ( 6a ) wird ausschließlich bestimmt durch den Parameter p . Für p < 0 hast du V-Form analog Parabel; und für p > 0 ergibt sich W-Form. Wo liegen die linke und rechte Spitze des W , also die beiden Seitenminima? Eintrag in die Formelsammlung
x ( w ) = sqr ( p/2 ) = 2 ( 2.1 )
Befinden wir uns im Einklang mit Ungleichung ( 1.3 ) ? Betrachte ( 1.4g )
