f linear, trigonalisierbar aber nicht diagonalisierbar

Question

Sei K ein beliebiger Körper, V = M(2x2;K) und

Matrix T=

1	1
0	1

∈V.

Wir betrachten die Abbildung f: V -> V , A ↦ TAT^-1

a) Zeigen sie, dass f linear ist

b) Zeigen sie, dass f trigonalisierbar, aber nicht diagonalisierbar ist.

Zu a)

Muss ich hier k(f + g) = k(f) + k(g)   & k(λf) = λk(f) zeigen?

wie stelle ich es hier genau an?

zu b)
wie soll ich hier vorgehen?

Answer 1

Zu b)  mein ehrlicher Rat: Mach dich mal richtig schlau über ===> Elementarteiler ( ET ) ( z.B. Kowalsky bzw. Greub; Bd. 2 )   Weißt du, wie man auf die Schnelle die Säkulardeterminante ( SD ) einer 2 X 2 Matrix auftreibt?


       f ( x )  = x ² - p x + q = 0  ( 1 )


      Satz von Vieta



      p = E1 + E2 =  Sp  ( T )  = 2   ( 2a )
   
      q =  E1 E2 = det  ( T )  =  1   ( 2b )

      f ( x ) = x ² - 2 x + 1 =   ( 3a )

                =  ( x - 1 ) ²   ( 3b )


       Am Besten ich erzähl dir mal bissele ET . Es dreht sich genau darum, was machst du, wenn die Eigenwerte entartet sind?
      Jede Matrix löst ihre eigene SD . Und von Daher merkst du ziemlich schnell; die SD einer Matrix ist ganz unintressant. Entscheidend ist ihr ===> Minimalpolynom. Weil die Einheitsmatrix hat ja genau die selbe SD  ( 3b ) ; aber ihr Minimalpolynom ist natürlich


       p ( min ) = x - 1     ( 3c )


   
        Jede Matrix löst ihre eigene SD  , sagte ich. Nimm das doch mal wörtlich und setze T ein in ( 3b )


      f ( T ) =  ( T - 1|  ) ²  = 0   ( 4a )


      Setzen wir noch


        T ' := T - 1       ( 4b )

        T ' ²   = 0     ( 4c )


       Eigenschaft ( 4c ) nennt man ===> nilpotent; hinter dieser Dreiecksform verbirgt sich effektiv Folgendes: In der diagonale steht ( pro ===> Komponentenraum ) immer der Selbe Eigenwert; und was übrig bleibt, wenn du den subtrahierst, ist nilpotent. Du kannst dir das ja mal anschaulich klar machen, wie dieses Dreieck die Matrix " ab fieselt "  In unserem Fall ist der ET ( 4a ) quadratisch.