Abbildung mit φ(a1,a2) = [ a1-a2; a1+3] linear? Linearität prüfen

Question

Ist die Abbildung ' : R² → R² mit  φ(a₁,a₂) = [ a₁-a₂; a₁+3] linear?

An dieser Aufgabe verzweifel ich gerade, obwohl ich das eigentlich kann.. :( ist das richtig was ich gemacht habe?

habe mir 2 vektoren ausgedacht: a₁=( 3,4) und a₂= (2,3) und dann die erste regel für linearität(?) F(v₁+v₂)= F(v₁)+F(v₂)

φ([3,4],[2,3]) = φ([3,4] + φ([2,3])

...

[(-2,13] ≠ [(-2,16)]

ist das richtig, oder kann ich das so nicht machen, weil in der aufgabe φ(a₁,a₂) steht und nicht φ(a₁+a₂)?

ich hoffe mich versteht einer und mir hilft jemand und die eckigen klammern sollen zeigen, dass die zahlen untereinander geschrieben sind..

Linda

Answer 1

Deine Intuition bei dieser Aufgabe war schon richtig. Du versuchst durch ein Gegenbeispiel zu zeigen, dass die Funktion nicht linear sein kann. 

Aber deine Notation passt an einer Stelle leider gar nicht. 

Was du überprüfen musst wäre:

$$ \varphi \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \varphi \left(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right)+ \varphi \left(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right)$$

Aber das meintest du bestimmt. Trotzdem stimmen die Werte die du am Ende auf beiden Seiten ausgerechnet hast jeweils nicht, also bitte nochmal überprüfen.

Was aber korrekt ist, ist das auf beiden Seiten 2 unterschiedliche Vektoren rauskommen wodurch diese Eigenschaft nicht gegeben ist und die Funktion somit nicht linear sein kann.

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort, was mich aber nun stutzig macht ist, dass wenn ich

φ([3,4]+[2,3]) =φ([3,4] + φ([2,3])

überprüfen möchte, dann muss ich den gewählten vektor a1 und a2 ja in die voraussetzung einsetzen ( [ a₁-a₂; a₁+3]). Dann würden sich aber die 2 vektoren übereinander stehen, also 4 zahlen...([(x,y);(s,t)]. Das kommt mir etwas falsch vor. Oder muss ich einfach für a1 und a2 nur eine zahl wählen anstatt nen vektor?! hilfe bitteeee

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Da ist wahrscheinlich dein Problem:
\(a_1\) und \(a_2\) sind keine Vektoren sondern die Einträge von Vektoren (jeweils der 1. und der 2. Eintrag) und damit einfach nur reelle Zahlen.

Die linke Seite berechnest du in dem du erst die Vektoren addierst und dann die Abbildung anwendest!

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macht für mich aber immer noch keinen Sinn, denn :

wenn a=

a1

a2

und ich dann z.B. [(3;4)] nehme, dann hab ich ja da stehen φ(3+4) = φ(3) + φ(4) , kann dann aber nichts mehr einsetzen, weil ich phi dann nur noch von einer zahl abhängt und ich kein a₂ mehr zum einsetzen habe???

entschuldige meine blödheit, aber ich verstehe das gerade echt nicht :(

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Das geht ja natürlich auch nicht du musst erstmal zurück zum Anfang und schauen wo deine Funktion definiert ist. \(\varphi\) bildet einen Vektor aus dem \(\mathbb{R}^2\) wieder auf einen Vektor aus dem \(\mathbb{R}^2\) ab. Die Funktion für eine Zahl auszuwerten macht überhaupt keinen Sinn.

Es ist \( \varphi \left(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} a_1-a_2 \\ a_1+3 \end{pmatrix} \) Du musst also jede Zeile auswerten wenn du konkrete Vektoren berechnen möchtest.

Außerdem ist (bestimmt nicht dasselbe):

$$ \varphi \left(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \right) \neq  \varphi( a_1  + a_2 )$$

Denn das rechte macht ja gar kein Sinn.

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Vielen Dank,

also stelle ich nun ein LGS auf und schaue ob ich eine Lösung herausbekomme aus

a₁=a₁-a2

a₂=2a₁+3

und kann dann eine aussage über die abhängigkeit treffen?

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Warum denn jetzt wieder ein LGS? Damit würdest du nur schauen ob die Funktion Fixpunkte hat o.O.

Du setzt einfach nur die Werte ein die du dir ausgesucht hast.... Beispiel

$$ \varphi \left(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 3-5 \\ 3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix} $$

Warum schweifst du denn jetzt wieder komplett von dem eigentlichen Lösungsweg ab den du zuvor hattest?

Berechne beide Seiten der Gleichung die in der Antwort steht.

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Ach, entschuldige..

also setze ich nun für a=[a₁,a₂)]:  a=[(3,4)] ein. Nun erhalte ich [(-1,9)] und das ist nicht gleich -> linear unabhängig?

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Lineare Funktion hat nix mit linearer Abhängigkeit zu tun......

Wie du auf [(-1,9)] kommst ist mir auch unklar wenn ich dir schon geschrieben habe was rauskommt wenn du φ([3,4]) berechnest.....

Du hast dir doch dein Beispiel selbst gewählt und fast richtig geschrieben was zu überprüfen ist:

(*) φ([3;4]+[2;3]) = φ([3;4]) + φ([2;3]) 

Nun ist

φ([3;4]+[2;3]) = φ([5;7]) = [-2;8]

Aber:

φ([3;4]) + φ([2;3]) = [-1;6] + [-1;5] = [-2;11]

Also ist die Gleichung (*) nicht erfüllt somit kann die Funktion nicht linear sein.

Ich habe sehr stark das Gefühl, dass du nicht wirklich weißt was du hier machst, weswegen ich dir raten würde nochmal die Grundlagen aufzufrischen und die Definitionen aus eurer Vorlesung zu verstehen (vielleicht auch mal ein Tutorium zu besuchen falls sowas bei euch angeboten wird).

Answer 2

Im Prinzip die richtige Idee, aber hat noch ein paar Macken:
nicht φ([3,4],[2,3])
sondern
φ([3,4]+[2,3])  also erst die Summe bilden und dann φ anwenden
im Gegen satz zur rechten Seite auf beide  φ anwenden und dann die
Summe bilden.
= φ([5,7])
=[-2;7]  ≠ [(-2,16)]  und damit nicht linear.