Wurzelgleichungen durch Substitution lösen. Bsp. 2x-3√x =5

Question

2x-3√x =5

2√x+1 =x-4

Wie muss man bei solch einer Aufgabenstellung vorgehen?

Answer 1

2·x - 3·√x = 5

2·x - 5 = 3·√x

4·x^2 - 20·x + 25 = 9·x

4·x^2 - 29·x + 25 = 0

x = 6.25 ∨ x = 1

Beide Lösungen sollte man jetzt zur Probe einsetzen. Eine Lösung entfällt.

2·√x + 1 = x - 4

Hier solltest du die Lösung x = 2·√6 + 7 bekommen.

Answer 2

versuche die Wurzel auf eine Seite zu bringen
2x-3√x =5
-3√x =5 - 2x
und dann quadrieren
9x = 25 - 20x + 4x^2
0 =  4x^2 - 29x + 25
0 = x^2 -29/4 + 25/4
pq-Formel

x= 29/8 ±wurzel( 841/64 - 400/64)
x = 29/8 ± 21/8
x=50/8=6,25  oder  x= 8/8=1
wegen des Quadrierens unbedingt die Probe machen, das
zeigt 1 ist keine Lösung 6,25 aber doch.

Answer 3

2√x +1 =x-4  ----->  2√x  = x - 5  , beide Seiten quadrieren !

4x    =   ( x-5)²

4x   =  x²  -10x +25

x² - 14x + 25 =  0

x1,2 =  7 ± √24

x1,2 = 7 ± 4,9

x1 = 11,9

x2 = 2,1 !!

Answer 4

Wurzelgleichungen durch Substitution lösen:
$$ 2\cdot x-3\cdot\sqrt{x} =5  $$lässt sich auffassen als
$$ 2\cdot\left(\sqrt{x}\right)^2-3\cdot\sqrt{x} =5  $$Substituiere also etwa mit \(z:= \sqrt{x}\). Bei der anderen Gleichung hängt es davon ab, wie weit der Wurzeloperator geht: Steht \(+1\) noch unter der Wurzel oder nicht?