Wurzelgleichungen lösen: 1 + √(x+5) = x

Question

ich bin jetzt in der 8. Klasse und im nächsten Schuljahr 9 Klasse beschäftigen wir uns unter anderem mit Wurzelfunktionen.

Jetzt wollte ich mir das Thema schon mal selber aneigenen, weil mir langweilig war..

1 + √ (x+5) = x

ich komme auf die falschen Lösungen 4 und - 1

Answer 1

Hi,

1 + √ (x+5) = x    |-1

√(x+5) = x-1    

(x+5) = (x-1)² 

x+5 = x²-2x+1 

-x²+x+5 = -2x+1

-x²+3x+4=0   |*(-1), dann pq-Formel

x²-3x-4=0

x₁= 4 und x₂= -1

Jetzt noch die Probe durchführen und Du wirst feststellen, dass deine Lösung x=4 ist ;)

Gruß

Comments

Danke, also stimmte meine Lösung :))

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Freut mich :)

@LC: Das hab ich doch hingeschrieben, dass man noch die Probe machen muss und dann wird man feststellen, dass die einzige Lösung x=4 ist :)

Trotzdem Danke für den Hinweis :D

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Aufpassen: Quadrieren ist keine Äuqivalenzumformung! Beispiel: \(x=1\), die Gleichung hat offensichtlich die Lösung 1. Aber durch Quadrieren erhält man \(x^2 = 1\) und dies liefert die Lösungen \(x=\pm 1\) aber -1 löst die Ausgangsgleichung nicht.

Der Ansatz ist trotzdem korrekt, aber man muss alle Lösungen die man erhält zur Überprüfung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. In diesem Fall erhält man durch Einsetzen von -1

$$ 1+ \sqrt{4} = 1+2=3 \neq 1$$

also ist -1 keine Lösung. Einsetzen von 4 liefert hingegen

$$ 1 + \sqrt{9} = 1+3 = 4$$

also ist nur 4 eine Lösung.

Edit: Upps, da hab entweder ich gepennt oder du hast es noch mal bearbeitet während ich geantwortet hab^^