Ergänzen Sie dieses System noch mit einem Vektor a4, der zu a1, a2 und a3 senkrecht ist.

Question

ich habe leider ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich wäre froh wenn ihr mir helfen könntet:

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren in R 4 : 

 a1 = (1, 0, 1, 0) , a2 = (1, 1, 0, 0)  und  a3 = (0, 0, 1, 1) . 

(a) Ergänzen Sie dieses System noch mit einem Vektor a4, der zu a1, a2 und a3 senkrecht ist.

 (b) Ausgehend aus a1, a2, a3, a4 bilden Sie eine normierte Basis in R 4 . Hinweis: Es existieren mehrere mögliche Lösungen für a4

M.f.g

Answer 1

fang an mit a4 ( u,v,w,z) und setze die Skalarprodukte mit den ersten dreien gleich 0.

u+w=0   u+v=0     w+z=0

Dann ist u=- w   z = - w   und   u+v=0 gibt -w + v = 0 also v = w

Damit ist jeder von der Art  ( -w ; w ; w ; -w ) = w* ( -1 ; 1 ; 1 ; -1 )

ein zu den dreien orthogonaler, am besten nimmst du ( -1 ; 1 ; 1 ; -1 ).

Answer 2

a)

um sicherzustellen, dass das Skalarprodukt  des gesuchten Vektors mit jedem der drei gegebenen jeweils gleich 0 ist, kann man ausnutzen, dass zwei der drei gegebenen Vektoren  als 4.Koordinate (2. Koordinate) eine 0 haben

→   (0,0,0,-1)  [ oder (0,-1,0,0) ] ist also ein möglicher Vektor mit der verlangten Eigenschaft.

b) 

Eine normierte Basis findest du dann, indem du jeden der 4 Vektoren durch seinen Betrag dividierst.

Für eine Orthonormalbasis (normiert und Vektoren paarweise orthogonal) vgl. ggf.:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Gruß Wolfgang