Stetigkeit gerade Funktion

Question

hat jemand eine Ahnung wie man das beweisen kann?

Mit a > 0 sei D =[-a,a]. Eine Funktion heißt gerade wenn f (-x) = f(x) bzw. ungerade wenn f(-x) = -f(x). Zeige, dass wenn eine soche Funktion f stetig auf [0,a] ist, dann ist sie auch stetig auf ganz D=[-a,a].

Ich kann es mir so vorstellen dass eine gerade Funktion eine Parabel ist; wenn hier die Funktion in [0,a] stetig ist, dann ist die es auch gespiegelt an der y-achse. Änalog einer Hyperbel einer ungeraden Funktion (nur andere Symmetrieachse). Ich weiß nur nicht wie ich das mathematisch hinschreiben soll...

Kann mir da jemand helfen?

Comments

Hi, verwende die Definition der Stetigkeit!
Wie habt ihr die Stetigkeit denn definiert?

Answer 1

Ich würd mit der Def. arbeiten:
Also etwa f stetig auf [0;a] und f gerade

Sei x aus ]0,a] dann gibt es eine Umgebung von x, die ganz in [0;a} liegt und
dort ist f stetig nach  Voraussetzun.

Sei x aus [-a ; 0 [ und eps>0 dann ist -x aus ]0;a] und da
f dort stetig ist, gibt es ein delta so dass für alle y aus U(delta) von - x
gilt f(y) in U(eps) von f(- x)
wegen f(-x) = f(x) und f(-y) = f(y)
gilt also auch:
  es gibt ein delta (nämlich das gleiche wie eben)  so dass für alle y aus U(delta) von x
gilt f(y) in U(eps) von f(x).

und für die Stetigkeit bei 0 bekommst du es so auch hin.

und für ungerade Funktion spielst du es auf f(-x) = -f(x) zurück; denn mit
f(y) aus U(eps) von f(-x) ist dann ja -f(y) auch in U(eps) von  -f(x)

Comments

Super, ich danke dir! Ich verstehe diese delta, epsilon Geschichte zwar noch nicht so ganz, aber deine Antwort ist ein guter Ansatz mit dem ich etwas anfangen kann!