Zeige mit dem Mittelwertsatz die Ungleichung, aber die Funktion besitzt keinen Fixpunkt

Question

Zeige mit dem Mittelwertsatz, dass

g:[1,unendlich[ -> [1, unendlich[  ,    x -> (1/x)+x

die Ungleichung |g(x)-g(y)| < |x-y| für alle x,y aus [1,unendlich[ mit x ungleich y , erfüllt. Aber dennoch keinen Fixpunkt besitzt.

Wer kann helfen. Ich hab überhaupt keine Ahnung, wie das lösen soll. danke schonmal für eure Hilfe.

Answer 1

Hi,
es gilt $$ |g(x) - g(y)| = \left|\frac{1}{x} + x - \frac{1}{y} - y\right| = \left| (x-y)\left( 1 - \frac{1}{xy} \right)\right| < |x-y| $$ weil $$ \frac{1}{xy} > 0 $$ für \( x,y \in [1, \infty) \) gilt

Außerdem gilt \( g(x) > x \) für \( x \in [1,\infty) \) also kann \( g(x) \) keinen Fixpunkt besitzten.

Comments

Hi soweit so gut das Prinzip ist mir klar....aber muss nach dem erten gleichheitszeichen nicht   1/y +y stehen?

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bi896: Was hast du denn für g(y)?

Und dann für -g(y) ?