Verteilungsfunktion Dichtfunktion zufallsvariable

Question

Ein deutsches Eisenbahnunternehmen möchte vor einer aufwendigen Fahrplanänderung Aufschlüsse über die Verspätungen X der in Essen ankommenden Züge gewinnen. Der extra dafür hingezogene Statistiker ermittelt dabei als Modell für die Verteilung von X (in Minuten) folgende Verteilungsfunktion:

0             , x < 0

F_X (x) = cx - 0, 0025X², 0 ≤ x ≤ 20

1              , x > 20

a) Wie muss c gewählt werden, damit F_x wirklich eine Verteilungsfunktion ist?

b) Wie lautet dann die zugehörige Dichtfunktion f(x)?

c) Berechnen sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X.

Comments

Die Rechnung beim Erwartungswert kann ich nicht nachvollziehen

Answer 1

a)

c·20 - 0.0025·20^2 = 1 --> c = 0.1

b)

P(x) = (0.1·x - 0.0025·x^2)' = 0.1 - 0.005·x

c)

E(X) = ∫((0.1 - 0.005·x)·x, x, 0, 20) = 20/3

V(X) = ∫((0.1 - 0.005·x)·(x - 20/3)^2, x, 0, 20) = 200/9