12. Sei ξ≠0. Du guckst hier, ob gi(ξ, ξ)=0, gi(ξ, 0)=0 und gi(0, ξ)=0 ist. Dann ist gi stetig im Punkt (0, 0).
g1(ξ, ξ)=ξ/(ξ^2+ξ^2)=ξ/(2ξ^2)=1/2ξ. Hier siehst du, dass für beliebig kleine ξ der ganze Ausdruck gegen ∞ geht, g1 ist also nicht stetig im Punkt (0,0) (du kannst jetzt auch noch g1(ξ, 0) und g1(0, ξ) prüfen, da aber schon g1(ξ, ξ)≠0, wird g1 davon auch nicht stetig im Punkt (0, 0)).
g2(ξ, ξ)=ξ^2/2ξ^2=1/2≠0. g2 ist also nicht stetig im Punkt (0, 0).
g3(ξ, ξ)=ξ^3/2ξ^2=ξ/2 -> 0 für ξ -> 0.
g3(ξ, 0)=ξ^2/ξ^2=1/2≠0. g3 ist also nicht stetig im Punkt (0, 0).
g4(ξ, ξ)=(ξ^2(ξ^2-ξ^2))/2ξ^2=ξ^2*0/2ξ^2=0
g4(ξ, 0)=ξ*0(ξ^2-0)/ξ^2=0
g4(0, ξ)=0*ξ(0-ξ^2)/ξ^2=0
Da g4(ξ, ξ)=0, g4(ξ, 0)=0 und g4(0, ξ)=0, ist g4 im Punkt (0, 0) stetig.