Gerade & ungerade Funktionen

Question

Mit b>0 sei D:= [-b,b].Eine Funktion f: D --> D heißt gerade (bzw. ungerade),wenn f(-x) = f(x) ∀x ∈ D gilt
(bzw. f(-x) = -f(x) ∀x ∈ D). Zeige,dass wenn eine solche Funktion f auf [0,b] stetig ist,dann ist sie auf ganz D=[-b,b].

Mir ist schon klar was eine gerade und ungerade Funktion ist aber mich verwirrt leider das Intervall und ich bin mir nicht sicher wie ich zeigen könnte dass f auf [0,b] und dann D=[-b,b] stetig ist.

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)

Comments

Du musst nicht zeigen dass f auf [0,b] stetig ist sondern dies als Voraussetzung benutzen um zu zeigen, dass f dann auch auf [-b,b] stetig ist. Also im Grunde ist zu zeigen, dass f auch auf [-b,0] stetig ist. Dafür benutze eure Definition von Stetigkeit und die genannte Voraussetzung.

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Ich habe mir gedacht,dass ich den Zwischenwertsatz verwenden sollte,aber bin mir nicht ganz sicher.

Soll ich die Definition für die gerade und ungerade Funktionen verwenden ? Aber wie komme ich dann darauf,dass ich zeige,dass f stetig ist? Was ich von diesem Satz verstehe,dass unsere f Funktion zwischen f(-b) und f(b) ist,da die D:=[-b,b] definiert wurden,liegen sie auf der x Achse? Diese Definition verwirrt mich bisschen.

Answer 1

Ich würd mit der Def. arbeiten:
Also etwa f stetig auf [0;a] und f gerade

Sei x aus ]0,a] dann gibt es eine Umgebung von x, die ganz in [0;a} liegt und
dort ist f stetig nach  Voraussetzun.

Sei x aus [-a ; 0 [ und eps>0 dann ist -x aus ]0;a] und da
f dort stetig ist, gibt es ein delta so dass für alle y aus U(delta) von - x
gilt f(y) in U(eps) von f(- x)
wegen f(-x) = f(x) und f(-y) = f(y)
gilt also auch:
  es gibt ein delta (nämlich das gleiche wie eben)  so dass für alle y aus U(delta) von x
gilt f(y) in U(eps) von f(x).

und für die Stetigkeit bei 0 bekommst du es so auch hin.

und für ungerade Funktion spielst du es auf f(-x) = -f(x) zurück; denn mit
f(y) aus U(eps) von f(-x) ist dann ja -f(y) auch in U(eps) von  -f(x)

Comments

Im Großen und Ganzen verstehe ich,allerdings ist mir leider nicht klar was man bei der Aufgabe meint :(

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Kannst du dir ja mal erst anschaulich vorstellen:

stetiger Graph heißt: Keine Sprünge drin.

Wenn jetzt auf [0;a] keine Sprünge drin sind und du

spiegelst ihn an der y-Achse (gerade Funktion) sind

in der anderen "Hälfte" auch keine Sprünge und bei

0 kommen die beiden Teile ohne Sprung zusammen.

Wenn f ungerade ist, ist ja f(0) = 0 und die

andere "Hälfte" entsteht durch Spiegeln am Nullspunkt.

Die beiden Teile haben keine Sprünge und bei

0 kommen sie passen zusammen, also auch stetig.

Das ist so eine anschauliche Vorstellung allerdings kein Beweis.